1. 曲顶柱体的体积：
规则柱体的体积公式：
.
想象在曲顶柱体的底面上任取一小块区域，记作：
（这一小块的面积也用
,取小闭区域上任一点作为小柱体的高，则小柱体的体积近视表示为
,取积分就得到柱体的体积
2.平面薄片的质量：
质量元素为：
3.二重积分的定义：
1. 函数
是定义在有界闭区域上D上的
2.函数
3.对积分区域的划分是用直线网来划分的 。
4.结论：有界闭区域D上的连续函数
5.曲顶柱体的体积：
平面包边的质量：
，其中u（x，y） 是薄片的面密度 ，所谓薄片就是单位厚度，理解为各种“1” ，例如：1CM,1M根据实际选取的量纲不同而不同 。
6.二重积分的几何意义：曲顶柱体的体积，
处的竖坐标。
6.1 如果
，那么
;
6.2 如果
，那么
;
6.3 如果 （f 有正有负）
6.4当二重积分的最大值
4.二重积分的性质：
4.1 函数可加（积分区域相同函数可以相加减）
4.2 积分区域可加，（函数相同，不同的积分区域可以相加减，这个可以结合初等数学中的所谓“割补法”）
4.3 二重积分可以计算闭区域的面积
====不等性质：
4.4 若
.
事实上
绝对值不等式：
4.5 估值不等式
4.6 中值定理：
============二重积分的计算
5.直角坐标中二重积分的计算（最基本的方法）
5.1 后积先定限，限内画条线，从负向着正，先交为下限，后交为上限。
TIP：根据积分区域的类型，选择合适的积分次序：
（1）转化成定积分容易计算；
（2）积分区间容易表达，计算量低。
（3）利用积分区间的对称性，配合积分的集合意义；和被积函数的奇偶性事先化简积分。
==============
待补充
==============
5.2 利用极坐标计算：
极坐标于直角坐标的关系：
极坐标下的面积元素：
利用极坐标做代换之后，二重积分的计算仍然按照直角坐标的计算方式进行；重点在于极坐标下积分区域的表示。
5.3 二重积分的换元法：
（1）换元法是坐标面的变换，极坐标变化，可以看作是换元法的特殊情形 ；
（2）主要是各种整体代换。
（3）要求
具有一阶连续偏导数 ，保证代换后仍然可积 ；雅克比行列式不为零；映射是一对一的 ；
6.三重积分：
6.1 三重积分是二重积分的推广,实际意义是空间几何体的质量。
6.2 定义：
6.3 三重积分的计算：
（1）投影法：先1后2； 后积先定限，限内画条线；
（2）截痕法：先2后1； 后积先定限，限内画个面
6.4 柱面坐标计算三重积分:
柱面坐标：
r为常数，表示以z为轴的柱面；
为常数表示过z轴的半平面；z为常数表示平行于
面的平面
柱面坐标下的的体积元素：
柱面坐标下的三重积分：
（投影在xoy面的情形，类似可以讨论投影到其他坐标面的情形）
球面坐标计算三重积分：
纬线的微分是先计算近似点处的平面半径，然后根据弧长公式取得角度增量
,
因此，
7.重积分的应用：
曲面的面积：
空间平面在坐标面上上投影区域的面积
于是空间曲面的面积为：
注意：空间曲面的法向量公式。
质心：
质点的静矩：md ，利用元素法求得总的静矩于物体的质量做比值就得到质心坐标。
密度均匀薄片的质心公式 ：
由于这时候的质心，只与薄片的集合形状相关 ，所以也叫做 形心
转动惯量：
质点的转动惯量：
平面薄片的转动惯量：
万有引力：
量个质点的万有引力公式：
利用元素法，可以表示出近似质点的引力，然后再分解到各个坐标方向上在积分，就得到各个方向上的分力 ；
记住：空间向量的方向余弦的计算