坐标变换学习和理解

坐标变换学习和理解

1、常见的坐标变换

坐标变换顾名思义是对坐标系进行变换，之所以进行坐标变换是为了问题简化。工程中常用的线性变换主要有Clark变换、Park变换和Dq0变换，其中Clark变换是将ABC三相坐标系变换至$\alpha\beta\gamma$αβγ坐标系，Park变换则是用来旋转坐标系的，而Dq0变换是Clark变换和Park变换结合的产物，下面分别详细介绍各种坐标变换的基本原理以及应用，以下介绍均基于三相电压为例分析。

2、Clark变换

Clark变换的主要作用就是用来分离ABC坐标系中的共模分量，Clark变换后的$\gamma$γ分量即是共模分量。Clark变换的具体推导过程可以参考维基百科[Dq0 transformation][1]，这里不作详细介绍。Clark变换有两种形式，分别是幅值守恒和功率守恒。

• Amplitudes Invariant Transformation
  顾名思义，变换前后，向量的大小保持不变。其变换矩阵为：
  $\frac{2}{3} \begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \tag{1}$32​⎣⎡​1021​​−21​23​​21​​−21​−23​​21​​⎦⎤​(1)
  由上面公式可看出，幅值守恒的Clark变换的$\gamma$γ分量为三相电压的代数平均值，这也是我们熟知的共模分量或零序分量。
  *Power Invariant Transformation
  功率守恒变换顾名思义变换前后应满足功率守恒，显然上述的幅值守恒Clark变换矩阵并不是单位正交矩阵，所以在Clark坐标系下计算的有功和无功功率与ABC三相坐标系下并不相等。所以为了使得坐标变换后功率守恒，将上述变换矩阵标准正交化得到如下变换矩阵：
  $\sqrt\frac{2}{3} \begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \sqrt\frac{1}{2} & \sqrt\frac{1}{2} &\sqrt \frac{1}{2} \end{bmatrix} \tag{2}$32​​⎣⎢⎡​1021​​​−21​23​​21​​​−21​−23​​21​​​⎦⎥⎤​(2)
  该坐标变换前后功率守恒，因此在电气领域主要用的是该形式的Clark变换。值得注意的是，在该形式变换下Clark坐标系下的$\gamma$γ分量不再是三相电压或电流的共模分量或零序分量。

3、Park变换

Park变换主要是用来旋转二维坐标系或者三维中绕某一轴旋转（本质上也是旋转二维坐标系）如下图所示。假设将某二维坐标系xy逆时针旋转了$\theta$θ得到一个新的坐标系称为dq坐标系。

由上图的几何关系可以得到：
$\begin{bmatrix} v_d\\ v_q\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cos\theta & sin\theta\\ -sin\theta & cos\theta\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_x\\ v_y\\ \end{bmatrix} \tag{2}$[vd​vq​​]=[cosθ−sinθ​sinθcosθ​][vx​vy​​](2)
所以拓展到三维坐标系下的Park变换矩阵为：
$\begin{bmatrix} cos\theta & sin\theta & 0\\ -sin\theta & cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\tag{3}$⎣⎡​cosθ−sinθ0​sinθcosθ0​001​⎦⎤​(3)

4、Dq0变换

为了将ABC三相坐标系变换至Dq0坐标系，先利用Clark变换将ABC三相坐标系变换至$\alpha\beta\gamma$αβγ坐标系，然后再利用Park变换对$\alpha\beta\gamma$αβγ坐标系绕共模分量进行旋转即可得到Dq0坐标系。此时d轴领先$\alpha$α轴$\theta$θ角度。此时变换矩阵为：
$\begin{bmatrix} cos\theta & sin\theta & 0\\ -sin\theta & cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \sqrt\frac{2}{3} \begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \sqrt\frac{1}{2} & \sqrt\frac{1}{2} &\sqrt \frac{1}{2} \end{bmatrix}= \sqrt\frac{2}{3} \begin{bmatrix} cos\theta & cos(\theta-2\pi/3) & cos(\theta+2\pi/3) \\ -sin\theta & -sin(\theta -2\pi/3)& -sin(\theta +2\pi/3)\\ \sqrt\frac{1}{2} & \sqrt\frac{1}{2} &\sqrt \frac{1}{2} \end{bmatrix} \tag{4}$⎣⎡​cosθ−sinθ0​sinθcosθ0​001​⎦⎤​32​​⎣⎢⎡​1021​​​−21​23​​21​​​−21​−23​​21​​​⎦⎥⎤​=32​​⎣⎢⎡​cosθ−sinθ21​​​cos(θ−2π/3)−sin(θ−2π/3)21​​​cos(θ+2π/3)−sin(θ+2π/3)21​​​⎦⎥⎤​(4)
[1]: https://en.wikipedia.org/wiki/Direct-quadrature-zero_transformation#The_Clarke_transform_derivation