基变换和坐标变换

12 基变换和坐标变换
基变换和坐标变换

同学们好！大家学完基变换和坐标变换一节后，是不是觉得特别难以理解呢？可是这一节是非常重要的内容哦！坐标变换在解析几何中还有非常重要的应用——就是用来化简二次曲线和二次曲面（对应二元二次型和三元二次型化标准形的问题），在线性变换一章中，坐标变换也是非常鲜活的例子，所以我们要学好这一节哦！

尽管作者在编写这篇文章的时候，浏览器和markdown软件出了若干次故障，有时令人感到绝望，作者还是坚持编写完这篇文章，希望对大家有帮助，你也一定要看完它哦！

理解公式的一个好的方法是自己亲自把公式推导一遍,有可能的话，甚至可以找一个同学讲一遍给他听.

向量的线性表出的形式记号

在线性空间$V$V中，向量$\displaystyle \beta$β被向量组$\displaystyle \alpha_1,\cdots, \alpha_r$α1​,⋯,αr​线性表出有三种写法：
（1）$\displaystyle \beta=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_r\alpha_r$β=k1​α1​+k2​α2​+⋯+kr​αr​

(2)连加号：$\displaystyle \beta=\sum_{i=1}^r k_i\alpha_i$β=i=1∑r​ki​αi​

(3)形式记号：

$\beta=(\alpha_1,\cdots, \alpha_r)\begin{pmatrix}k_ 1\\k_2\\\vdots\\k_r\end{pmatrix}$β=(α1​,⋯,αr​)⎝⎜⎜⎜⎛​k1​k2​⋮kr​​⎠⎟⎟⎟⎞​

第（3）种形式展开后的含义与（1）相同，但有时候比（1）和（2）好用，尤其是在理论推导时非常简洁.
如果需要用$\displaystyle \alpha_1,\cdots, \alpha_r$α1​,⋯,αr​表示向量组$\displaystyle \beta_1,\cdots,\beta_s$β1​,⋯,βs​, 则沿用（3）的方法，可以用一个等式完成向量组的线性表出：

$(\beta_1,\cdots,\beta_s)=(\alpha_1,\cdots, \alpha_r)\begin{pmatrix}a_{11} &a_{12}& \cdots& a_{1s}\\a_{21}& a_{22}&\cdots &a_{2s}\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\a_{r1}&a_{r2}&\cdots&a_{rs}\end{pmatrix}$(β1​,⋯,βs​)=(α1​,⋯,αr​)⎝⎜⎜⎜⎛​a11​a21​⋮ar1​​a12​a22​⋮ar2​​⋯⋯⋮⋯​a1s​a2s​⋮ars​​⎠⎟⎟⎟⎞​

$(\beta_1,\cdots,\beta_s)=(\alpha_1,\cdots, \alpha_r)A_{r\times s}\quad\quad (1)$(β1​,⋯,βs​)=(α1​,⋯,αr​)Ar×s​(1)

基变换公式

$n$n维线性空间$V$V中有不同的基，例如（I）$\displaystyle \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n$ε1​,⋯,εn​和（II）$\displaystyle \varepsilon_1^\prime,\cdots,\varepsilon_n^\prime.$ε1′​,⋯,εn′​.

按照公式（1）的想法，基（II）可以被基（I）线性表示为：

$(\varepsilon_1^\prime,\cdots,\varepsilon_n^\prime)=(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)A, \quad \quad (2)$(ε1′​,⋯,εn′​)=(ε1​,⋯,εn​)A,(2)

其中$A$A为$n$n阶可逆方阵，称为从基(I)到基(II)的过渡矩阵.

坐标变换公式的推导

$\displaystyle\forall\alpha\in V$∀α∈V, 设$\alpha$α在基（I）和基（II）下的坐标分别为

$\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\\vdots \\x_n\end{pmatrix}和\begin{pmatrix}x_1^\prime\\x_2^\prime\\\vdots\\x_2^\prime\end{pmatrix}.$⎝⎜⎜⎜⎛​x1​x2​⋮xn​​⎠⎟⎟⎟⎞​和⎝⎜⎜⎜⎛​x1′​x2′​⋮x2′​​⎠⎟⎟⎟⎞​.

则，

$\alpha=(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\\vdots \\x_n\end{pmatrix}=(\varepsilon_1^\prime,\cdots,\varepsilon_n^\prime)\begin{pmatrix}x_1^\prime\\x_2^\prime\\\vdots\\x_2^\prime\end{pmatrix}\quad\quad (3)$α=(ε1​,⋯,εn​)⎝⎜⎜⎜⎛​x1​x2​⋮xn​​⎠⎟⎟⎟⎞​=(ε1′​,⋯,εn′​)⎝⎜⎜⎜⎛​x1′​x2′​⋮x2′​​⎠⎟⎟⎟⎞​(3)

将（2）代入（3）得，

$\alpha=(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\\vdots \\x_n\end{pmatrix}=(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)A\begin{pmatrix}x_1^\prime\\x_2^\prime\\\vdots\\x_2^\prime\end{pmatrix}$α=(ε1​,⋯,εn​)⎝⎜⎜⎜⎛​x1​x2​⋮xn​​⎠⎟⎟⎟⎞​=(ε1​,⋯,εn​)A⎝⎜⎜⎜⎛​x1′​x2′​⋮x2′​​⎠⎟⎟⎟⎞​

由于同一个向量$\alpha$α在同一组基（I）下的坐标是唯一的，所以有

$\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\\vdots \\x_n\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}x_1^\prime\\x_2^\prime\\\vdots\\x_2^\prime\end{pmatrix}.\quad \quad (4)$⎝⎜⎜⎜⎛​x1​x2​⋮xn​​⎠⎟⎟⎟⎞​=A⎝⎜⎜⎜⎛​x1′​x2′​⋮x2′​​⎠⎟⎟⎟⎞​.(4)

公式（4）称为用新坐标表示旧坐标的坐标变换公式.
公式（2）和（4）应该在理解的基础上牢记在心！记忆的时候注意下列要点：
旧基表新基，矩阵是右乘；新坐标表旧坐标，矩阵是左乘.

应用

仅仅记住公式是没用的，在具体的例子中熟练运用公式，才能将它理解得更加透彻，学以致用才是我们的目的.

例1 (1) 将坐标系$xoy$xoy绕着原点逆时针旋转$\theta$θ角得到$x^\prime oy^\prime$x′oy′, 基变换公式和坐标变换公式分别为

$(i^\prime, j^\prime)=(i,j)\begin{bmatrix}\cos\theta& -\sin\theta\\\sin\theta& \cos\theta\end{bmatrix},$(i′,j′)=(i,j)[cosθsinθ​−sinθcosθ​],

$\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos\theta& -\sin\theta\\\sin\theta& \cos\theta\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x^\prime\\y^\prime\end{bmatrix}.$[xy​]=[cosθsinθ​−sinθcosθ​][x′y′​].

(2)将坐标平面沿$x$x轴反射的基变换公式和坐标变换公式：

$(i^\prime, j^\prime)=(i,j)\begin{bmatrix}1& 0\\0 & -1\end{bmatrix},$(i′,j′)=(i,j)[10​0−1​],

$\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1& 0\\0 & -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x^\prime\\y^\prime\end{bmatrix}.$[xy​]=[10​0−1​][x′y′​].

例2 将双曲线$xy=1$xy=1化为标准方程.

解：将坐标系$xoy$xoy绕着原点逆时针旋转$\frac{\pi}{4}$4π​角得到$x^\prime oy^\prime$x′oy′, 由例1 （1）中的第二个公式得，

$\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt2}& -\frac{1}{\sqrt2}\\\frac{1}{\sqrt2}& \frac{1}{\sqrt2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x^\prime\\y^\prime\end{bmatrix},$[xy​]=[2​1​2​1​​−2​1​2​1​​][x′y′​],
即，
$\begin{cases}x&=&\frac{x^\prime-y^\prime}{\sqrt2}\\\quad &&\\ y &=& \frac{x^\prime+y^\prime}{\sqrt2}\end{cases}$⎩⎪⎨⎪⎧​xy​==​2​x′−y′​2​x′+y′​​

代入$xy=1$xy=1得到标准方程为：

$\frac{(x^\prime)^2-(y^\prime)^2}{(\sqrt 2)^2}=1.$(2​)2(x′)2−(y′)2​=1.

例3 （1）类似地，将三维空间直角坐标系$(oijk)$(oijk)绕着$k$k逆时针旋转$\theta$θ角得到$(oi^\prime j^\prime k^\prime)$(oi′j′k′)，从$i,j,k$i,j,k到$i^\prime,j^\prime,k^\prime$i′,j′,k′的过渡矩阵为：

$A=\begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta& 0\\\sin\theta &\cos\theta& 0\\0&0&1\end{bmatrix},$A=⎣⎡​cosθsinθ0​−sinθcosθ0​001​⎦⎤​,

(2)将三维空间沿着$xoy$xoy平面反射的过渡矩阵为：

$\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}$⎣⎡​100​010​00−1​⎦⎤​

例4 在$P^4$P4中，求由基$\displaystyle \varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3,\varepsilon_4$ε1​,ε2​,ε3​,ε4​到基$\eta_1,\eta_2,\eta_3,\eta_4$η1​,η2​,η3​,η4​的过渡矩阵, 其中

$\begin{cases}\varepsilon_1=(1,2,-1,0)\\\varepsilon_2=(1,-1,1,1)\\\varepsilon_3=(-1,2,1,1)\\\varepsilon_4=(-1,-1,0,1)\end{cases}, \begin{cases}\eta_1=(2,1,0,1)\\\eta_2=(0,1,2,2)\\\eta_3=(-2,1,1,2)\\\eta_4=(1,3,1,2)\end{cases}.$⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​ε1​=(1,2,−1,0)ε2​=(1,−1,1,1)ε3​=(−1,2,1,1)ε4​=(−1,−1,0,1)​,⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​η1​=(2,1,0,1)η2​=(0,1,2,2)η3​=(−2,1,1,2)η4​=(1,3,1,2)​.

分析：令$\displaystyle A=(\varepsilon_1^T,\varepsilon_2^T,\varepsilon_3^T,\varepsilon_4^T)$A=(ε1T​,ε2T​,ε3T​,ε4T​), $\displaystyle B=(\eta_1^T,\eta_2^T,\eta_3^T,\eta_4^T).$B=(η1T​,η2T​,η3T​,η4T​).问题转化为矩阵方程$B=AX$B=AX, 这个矩阵方程的解法如下.

$\begin{bmatrix}A& B\end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix}E& A^{-1}B\end{bmatrix}$[A​B​]→[E​A−1B​]

$X=A^{-1}B.$X=A−1B.

解： 略.

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