2D射影几何和变换

• 线的点表示：x、y$x、y$是线上点的平面坐标，则线上点可表示为x+αy$x+\alpha y$
• 非满秩矩阵C$C$所定义的二次曲线称作退化二次曲线，其上点包含两条线或者一条重线。C=lmT+mlT$C=l{m}^T+m{l}^T$是两条线l、m$l、m$。C∗=xyT+yxT$C^{\ast }=x{y}^T+y{x}^T$由过点x或y$x或y$的所有直线组成
• 对偶二次曲线：C$C$的切线l$l$，满足lTC∗l=0$l^T{C}^{\ast }l=0$。
  l=Cx,x=C−1l,(C−1l)TC(C−1l)=lTC−1l, ∴C∗=C−1$$l=Cx,x=C^{-1}l,(C^{-1}l{)}^{T}C(C^{-1}l)=l^T{C}^{-1}l,\therefore C^{\ast }=C^{-1}$$
• 映射变换是保线变换，可用3×3$3\times 3$的非奇异矩阵H$H$表示，h(x)=Hx$h(x)=Hx$
• 直线和二次曲线的变换：l′=H−Tl, C′=H−TCH−1, C∗′=HC∗HT$l^{\prime }=H^{-T}l,C^{\prime }=H^{-T}C{H}^{-1},C^{\ast }{}^{\prime }=H{C}^{\ast }{H}^T$
• 变换的层次：等距变换、相似变换、放射变换。变换中存在不变量，比如相似变换中长度比率不变
• 1D射影几何：点(x1, x2)$(x_1,x_2)$，交比不变
  
  Cross(x1,x2,x3,x4)=|x1x2||x3x4||x1x3||x2x4|, |xixj|=det[xi1xi2xj1xj2]$$Cross(x_1,x_2,x_3,x_4)=\frac{|x_1{x}_2||x_3{x}_4|}{|x_1{x}_3||x_2{x}_4|},|x_i{x}_j|=det\left[\begin{array}{cc}{x}_{i1}& x_{j1}\\ x_{i2}& x_{j2}\end{array}\right]$$
• l∞=(0,0,1)$l_{\infty }=(0,0,1)$是不动直线 ⟺$⟺$ H$H$是仿射变换
• 虚原点：I=(1,i,0)T, J=(1,−i,0)T$I=(1,i,0{)}^T,J=(1,-i,0{)}^T$在相似变换下保持不变
• 虚原点I,J$I,J$为不动点⟺H$⟺H$是相似变换

• 与虚原点对偶的二次曲线：C∗∞=IJT+JIT=⎡⎣⎢100010000⎤⎦⎥$C_{\infty }^{\ast }=I{J}^T+J{I}^T=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$

• 对偶二次曲线C∗∞$C_{\infty }^{\ast }$不变⟺H$⟺H$是相似变换

• 直线夹角：cosθ=lTC∗∞m(lTC∗∞l)(mTC∗∞m)√$cos\theta =\frac{l^T{C}_{\infty }^{\ast }m}{\sqrt{(l^T{C}_{\infty }^{\ast }l)(m^T{C}_{\infty }^{\ast }m)}}$

  lTC∗∞m↦lTH−1HC∗∞HTH−Tm=lTC∗∞m$$l^T{C}_{\infty }^{\ast }m\mapsto l^T{H}^{-1}H{C}_{\infty }^{\ast }{H}^T{H}^{-T}m=l^T{C}_{\infty }^{\ast }m$$

• C∗∞′$C_{\infty }^{\ast }{}^{\prime }$被辨认，则欧式角可以确定
• 如果lTC∗∞m=0$l^T{C}_{\infty }^{\ast }m=0$，则l$l$和m$m$正交
• 极点-极线：点x关于二次曲线C的极线l=Cx$l=Cx$与C交于两点。C的过这两点的两条切线相交于x
  
• 如果x在y的极线上，那么y也在x的极线上

应用

• 由图像恢复仿射性质：找到实际世界的2个无穷远点，可以通过平行直线相交确定。然后就可以确定无穷远直线的像的方程。通过射影变换，把无穷远线的像映射为(0,0,1)T$(0,0,1{)}^T$
  

• 度量矫正（恢复到相似变换）：通过5对垂直线，确定C∗∞=U⎡⎣⎢100010000⎤⎦⎥UT$C_{\infty }^{\ast }=U\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]U^T$