【信号与系统】笔记（4-1）拉普拉斯变换

Author：AXYZdong
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文章目录

• 前言
• 一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换
• 二、拉氏变换收敛域
• 三、单边拉氏变换
• 四、常见函数的拉氏变换
• 总结

前言

连续系统的S域分析

一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换

傅里叶变换要满足Dirichlet（狄利克雷）条件中的绝对可积，对于某些增长信号，如 $e^{at}(a>0)$eat(a>0) ,它就不存在傅里叶变换。

引入一个衰减因子 $e^{-\sigma t}（\sigma 为任意实数）$e−σt（σ为任意实数） ，使它与 $f(t)$f(t) 相乘，于是 $e^{-\sigma t}f(t)$e−σtf(t) 得以收敛。

$F_{b}(s)=\int _{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-st}dt \tag1$Fb​(s)=∫−∞∞​f(t)e−stdt(1)
$f(t)=\frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma-\infty}^{\sigma+\infty} F(s)e^{st }ds \tag2$f(t)=2πj1​∫σ−∞σ+∞​F(s)estds(2)
$(1)$(1) 双边拉氏变换，$F_b(s)$Fb​(s) ：象函数

$(2)$(2) 双边拉氏逆变换，$f(t)$f(t) ：原函数

二、拉氏变换收敛域

使 $f(t)$f(t) 拉氏变换存在的 $\sigma$σ 取值范围称为 $F(s)$F(s) 的收敛域

^{取值范围不同，变换的结果也不同}

三、单边拉氏变换

带有初始时刻的信号，双边拉氏变换就转化成单边拉氏变换。
$F_{b}(s)=\int _{0_-}^{\infty} f(t) e^{-st}dt$Fb​(s)=∫0−​∞​f(t)e−stdt
$f(t)=[\frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma-\infty}^{\sigma+\infty} F(s)e^{st }ds] \cdot\epsilon(t)$f(t)=[2πj1​∫σ−∞σ+∞​F(s)estds]⋅ϵ(t)

四、常见函数的拉氏变换

1、$\delta(t) \longleftrightarrow 1, \sigma>-\infty$δ(t)⟷1,σ>−∞

2、$\epsilon(t) 或 1 \longleftrightarrow \frac{1}{s},\sigma>0$ϵ(t)或1⟷s1​,σ>0

3、指数函数
$e^{-s_0 t} \longleftrightarrow \frac{1}{s+s_0}, \sigma>-Re[s_0]$e−s0​t⟷s+s0​1​,σ>−Re[s0​]

4、三角函数
$\cos\omega_0t \longleftrightarrow \frac{s}{s^2+w_0^2}$cosω0​t⟷s2+w02​s​
$\sin\omega_0t \longleftrightarrow \frac{\omega_0}{s^2+w_0^2}$sinω0​t⟷s2+w02​ω0​​

总结

拉普拉斯变换与傅里叶变换的基本差别在于:

傅氏变换将时域函数 $f(t)$f(t) 变换为频域函数$F(\omega)$F(ω) ，或作相反变换，时域中的变量 $t$t 和频域中的变量 $\omega$ω 都是实数；而拉氏变换是将时间函数 $f(t)$f(t) 变换为复变函数 $F(s)$F(s) ，或作相反变换，这时，时域变量 $t$t 虽是实数, $F(s)$F(s)的变量 $s$s 却是复数，与 $\omega$ω 相比较，变量 $s$s 可称为“复频率”。

傅里叶变换建立了时域和频域间的联系，而拉氏变换则建立了时域与复频域( $s$s 域)间的联系。

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