希尔伯特变换(Hilbert Transform)的性质

文章目录

• 实信号的希尔伯特变换
• • 希尔伯特逆变换
  • 卷积的希尔伯特变换
  • 希尔伯特变换不改变能量、功率
  • 窄带信号的希尔伯特变换
• 随机过程的希尔伯特变换
• • X ^ ( t ) \hat X(t) X^(t) 的自相关函数
  • X ^ ( t ) 和 X ( t ) \hat X(t)和 X(t) X^(t)和X(t) 的互相关函数

实信号的希尔伯特变换

希尔伯特逆变换

F ( x ^ ( t ) ) = ( − j s g n ( ω ) ) 2 X ( ω ) = X ( ω ) \mathcal{F}(\hat x(t))=(-j\mathrm{sgn}(\omega))^2X(\omega)=X(\omega) F(x^(t))=(−jsgn(ω))2X(ω)=X(ω)

卷积的希尔伯特变换

简明证法

希尔伯特变换不改变能量、功率

证明过程相当于应用了帕赛瓦尔定理

窄带信号的希尔伯特变换

随机过程的希尔伯特变换

X ^ ( t ) \hat X(t) X^(t) 的自相关函数

X ^ ( t ) 和 X ( t ) \hat X(t)和 X(t) X^(t)和X(t) 的互相关函数