多元函数微分学

一、概念

1. 极限

洛必达失效，需根据x与y的关系求解，可以令y=f(x)进行特判反证极限不存在，或利用夹逼准则判定极限存在。

2. 连续

求函数分段点极限。

3. 偏导数

利用定义法判定存在。

4. 可微

1. 写出全增量$\Delta z=f(x_0+ \Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)$Δz=f(x0​+Δx,y0​+Δy)−f(x0​,y0​)
2. 写出线性增量$A\Delta x+B\Delta y$AΔx+BΔy，其中$A=f_x'(x_0,y_0)$A=fx′​(x0​,y0​)，$B=f_y'(x_0,y_0)$B=fy′​(x0​,y0​)
3. 作极限$\lim_{x \to 0 ,y \to 0}\frac{\Delta z-(A\Delta x+B\Delta y)}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}$limx→0,y→0​(Δx)2+(Δy)2​Δz−(AΔx+BΔy)​，若该极限等于0，则$z=f(x,y)$z=f(x,y)在点$(x_0,y_0)$(x0​,y0​)可微，否则不可微

5. 偏导数连续

1. 用定义法求$f_x'(x_0,y_0),f_y'(x_0,y_0)$fx′​(x0​,y0​),fy′​(x0​,y0​)
2. 用公式法求$f_x'(x,y),f_y'(x,y)$fx′​(x,y),fy′​(x,y)
3. 计算$\lim_{x \to x_0,y \to y_0}f_x'(x,y),\lim_{x \to x_0,y \to y_0}f_y'(x,y)$limx→x0​,y→y0​​fx′​(x,y),limx→x0​,y→y0​​fy′​(x,y)，若相等则连续。

二、复合函数求导法

1. 链式求导法则

2. 全导数

3. 全微分形式不变性

三、隐函数求导法

1. 一个方程的情形

$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x'}{F_z'}$∂x∂z​=−Fz′​Fx′​​

2. 方程组的情形

$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=-\frac{\frac{\partial (F,G)}{\partial (x,z)}}{\frac{\partial (F,G)}{\partial (y,z)}}$dxdy​=−∂(y,z)∂(F,G)​∂(x,z)∂(F,G)​​

四、多元函数的极、最值问题

1. 无条件极值

1. 一阶偏导为0，得出可疑点
2. 二阶偏导为A,B,C，计算$\Delta=AC-B^2$Δ=AC−B2
3. 若$\Delta$Δ大于0，则存在极值，反之不存在
4. $A>0$A>0为极小值，$A<0$A<0为极大值

2. 条件极值与拉氏乘数法

1. 将限定条件作为约束
2. 令一阶导为0，解出方程即为极值

五、偏微分方程

1. 已知偏导数（或偏增量）的表达式，求z=f(x,y)

2. 给出变化，化已知偏微分方程为常微分方程，求f(u)

3. 给出变化，化已知偏微分方程为指定偏微分方程及其反问题