数学分析笔记10：函数项级数

函数项级数的概念

函数列与函数项级数

级数是一种重要的扩展函数类的手段，利用级数，我们可以表示一些没有解析表达式的函数。当然，级数是用数列极限的方式定义的，我们也可以用数列极限的方式来扩展函数类。
假设$\{f_n(x)\}${fn​(x)}是定义在区间$I$I的一列函数，对于每一个$x\in I$x∈I，$\{f_n(x)\}${fn​(x)}就成了实数列，如果对于每个$x\in I$x∈I，$\{f_n(x)\}${fn​(x)}都收敛，其极限记为$f(x)$f(x)，这样，$f(x)$f(x)是一个函数，只不过是以极限方式定义的，我们称$f(x)$f(x)为极限函数。
定义10.1 $\{f_n(x)\}${fn​(x)}是定义在区间$I$I的一列函数，对于每一个$x\in I$x∈I，极限\$\lim_{n\to\infty}{f_n(x)}$limn→∞​fn​(x)存在，称$\{f_n(x)\}${fn​(x)}在区间$I$I上逐点收敛，记$f(x)=\lim_{n\to\infty}{f_n(x)}$f(x)=n→∞lim​fn​(x)$f(x)$f(x)称为$\{f_n(x)\}${fn​(x)}在区间$I$I的极限函数

有函数列极限函数，必然就有函数项级数：
定义10.2 $\{f_n(x)\}${fn​(x)}是定义在区间$I$I的一列函数，对于每一个$x\in I$x∈I，级数$\sum_{n=1}^\infty{f_n(x)}$∑n=1∞​fn​(x)收敛，称函数项级数$\sum_{n=1}^\infty{f_n(x)}$∑n=1∞​fn​(x)在区间$I$I上逐点收敛，函数$S(x)=\sum_{n=1}^\infty{f_n(x)}$S(x)=n=1∑∞​fn​(x)称为$\{f_n(x)\}${fn​(x)}是定义在区间$I$I上的和函数

这样，我们就可以利用数列极限得到更广阔的一类函数。
例10.1 $\{x^n\}${xn}在开区间$(-1,1)$(−1,1)上的极限函数为$f(x)= 0$f(x)=0
例10.2 函数项级数$\sum_{n=1}^\infty{x^n}$∑n=1∞​xn在$(-1,1)$(−1,1)上逐点收敛，和函数为$S(x)=\frac{x}{1-x}$S(x)=1−xx​
例10.3 函数项级数$\sum_{n=1}^\infty{\frac{1}{n^x}}$∑n=1∞​nx1​在$(1,+\infty)$(1,+∞)上逐点收敛，然而，其和函数没有解析表达式

一致收敛的定义

我们更关心的一个问题是：通过这样构造的函数具有何种性质。
例10.4 $f_n(x)=x^n$fn​(x)=xn在$(-1,1]$(−1,1]上逐点收敛，极限函数为$f(x)= \begin{cases} 0 & -1<x<1\\ 1 & x=1 \end{cases}$f(x)={01​−1<x<1x=1​每一个$f_n(x)$fn​(x)都是$(-1,1]$(−1,1]上的连续函数，然而极限函数却不是。
实际上，如果$f_n(x)$fn​(x)在$x_0$x0​处连续，$f(x)$f(x)也在$x_0$x0​处连续，用极限的语言表示，就是：
$\lim_{x\to x_0}\lim_{n\to\infty}f_n(x_0) = \lim_{n\to\infty}\lim_{x\to x_0}{f_n(x)}$x→x0​lim​n→∞lim​fn​(x0​)=n→∞lim​x→x0​lim​fn​(x)也就是两个极限过程可以交换顺序。类似的，还有积分号、求导号和函数列极限号能否交换顺序的问题。当然，从例10.4也可以看出，两个极限号不总是可交换的。但是，如果我们考虑更强的一种收敛性的时候，两种极限过程，就可以交换，这个极限过程就是一致收敛。
先来解释何谓“一致”：
函数列$\{f_n(x)\}${fn​(x)}在区间$I$I上是逐点收敛的，但是收敛的速度确是逐点不同的。实际上，考察数列收敛的定义就可以明白这一点：对任意的$\varepsilon<0$ε<0，对任意的$x\in I$x∈I，都存在正整数$N$N，$n\ge N$n≥N时$|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$∣fn​(x)−f(x)∣<ε然而，以上定义中的$N$N，确是$x$x的函数，$x$x不同，正整数$N$N就不同，这就是所谓收敛的速度。如果$\{f_n\}${fn​}收敛的步调一致，对任意的$\varepsilon>0$ε>0，存在一个与$x$x无关的正整数$N$N，对所有的$x\in I$x∈I，都有$|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$∣fn​(x)−f(x)∣<ε这就称为是一致收敛。
定义10.3 $\{f_n(x)\}${fn​(x)}是区间$I$I上函数列，如果对任意的$\varepsilon>0$ε>0，存在正整数$N$N，$n\ge N$n≥N时，对区间$I$I上任意一点$x$x，都有$|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$∣fn​(x)−f(x)∣<ε则称$\{f_n(x)\}${fn​(x)}在$I$I上一致收敛到函数$f(x)$f(x)

对函数项级数也可以定义一致收敛，这里不再赘述。我们举一例感受何谓“一致收敛”。
例10.5 对任意的$0<\alpha<1$0<α<1，$f_n(x) = x^n$fn​(x)=xn在$[0,\alpha]$[0,α]上一致收敛

证：
对任意的$0<\alpha<1$0<α<1，由$f_n$fn​的单调性$|f_n(x)|=x^n\le \alpha^n$∣fn​(x)∣=xn≤αn对任意的$\varepsilon>0$ε>0，存在$N$N，$n\ge N$n≥N时，$\alpha^n<\varepsilon$αn<ε。$|f_n(x)|<\varepsilon$∣fn​(x)∣<ε这就证明了一致收敛。

例10.5 接例10.5，证明$f_n(x) = x^n$fn​(x)=xn在$[0,1)$[0,1)上不一致收敛

证：
怎么证明一个函数列不是一致收敛的呢？按照定义，就取点列$\{x_n\}${xn​}，取正数$\varepsilon_0>0$ε0​>0，如果都有$|f_n(x_n)-f(x_n)|\ge \varepsilon_0$∣fn​(xn​)−f(xn​)∣≥ε0​那么函数列就不是一致收敛的。
实际上，我们知道$(1-\frac{1}{n})^n$(1−n1​)n是单调递减的，并且$\lim_{n\to\infty}{(1-\frac{1}{n})^n}=\frac{1}{e}$n→∞lim​(1−n1​)n=e1​这样$(1-\frac{1}{n})^n\ge \frac{1}{e}$(1−n1​)n≥e1​因而，$f_n(x)$fn​(x)在$[0,1]$[0,1]上不是一致收敛的。

$f_n(x)$fn​(x)在大区间$[0,1]$[0,1]上不是一致收敛的，然而放在较小的区间$[0,\alpha]$[0,α]上，一致收敛就成立了！我们可以用下图直观地感受这个差别。

如图，实际上，划定一条基准线$y=\varepsilon_0$y=ε0​，不论$n$n多大，总有点在$y=\varepsilon_0$y=ε0​之上，然而，划定一个子区间，在$n$n足够大时，$f_n(x)$fn​(x)就一定会落在$y=\varepsilon_0$y=ε0​的下方，这就是为什么取子区间$[0,\alpha]$[0,α],$f_n(x)$fn​(x)可以一致收敛，一旦放在$[0,1)$[0,1)上，一致收敛就不成立。
我们也可以如此理解，如果$\{f_n\}${fn​}在区间$I$I上一致收敛，极限函数为$f(x)$f(x)，那么，$n$n足够大时，$f_n$fn​一定落在$f-\varepsilon$f−ε和$f+\varepsilon$f+ε之间的一条带上。

这样，$n$n足够大时，$f_n$fn​与$f$f可以近似认为整体上“差别很小”，那么$f_n$fn​的性质就能整体传递到$f$f上。所以，一致收敛的条件下，极限函数有着非常好的性质。当然，这里我们只是给了一个直观的认识，并没有给出定理的论述和严格证明。我们将在第三部分完成这一点。

一致收敛的判定

M判别法

一致收敛非常重要，但紧接着就要有判定一致收敛的方法。实际上，一致收敛也有所谓的比较判别法，即是所谓的魏尔斯特拉斯判别法，简称M判别法。当然，在证明M判别法之前，我们要给出一致收敛的柯西准则：
定理10.1(一致收敛的柯西准则) 区间$I$I上的函数列$\{f_n\}${fn​}上一致收敛的充分必要条件是：对任意的$\varepsilon>0$ε>0，存在正整数$N$N，当$n\ge N$n≥N时，对任意的$x\in I$x∈I，都有$|f_n(x)-f_m(x)|<\varepsilon$∣fn​(x)−fm​(x)∣<ε

证：
充分性：如果对任意的$\varepsilon>0$ε>0，存在正整数$N$N，当$n\ge N$n≥N时，对任意的$x\in I$x∈I，都有$|f_n(x)-f_m(x)|<\varepsilon$∣fn​(x)−fm​(x)∣<ε那么由数列收敛的柯西准则，$f_n(x)$fn​(x)在$I$I上是逐点收敛的，设极限函数为$f(x)$f(x)，可取子列$\{f_{n_k}(x)\}${fnk​​(x)}，对任意的$x\in I$x∈I，都有$|f_{n_{k+1}}(x)-f_{n_k}(x)|<\frac{1}{2^k}$∣fnk+1​​(x)−fnk​​(x)∣<2k1​有$f_{n_k}(x)=f_{n_1}(x)+\sum_{i=1}^{k-1}{(f_{n_{i+1}}(x)-f_{n_i}(x))}$fnk​​(x)=fn1​​(x)+∑i=1k−1​(fni+1​​(x)−fni​​(x))，于是$f_{n_1}(x)+\sum_{i=1}^{\infty}{(f_{n_{i+1}}(x)-f_{n_i}(x))} = f(x)$fn1​​(x)+i=1∑∞​(fni+1​​(x)−fni​​(x))=f(x)$|f(x)-f_{n_k}(x)|\le \sum_{i=k}^{\infty}{|f_{n_{i+1}}(x)-f_{n_i}(x)|} \le \sum_{i=k}^{\infty}{\frac{1}{2^i}}=\frac{1}{2^{k-1}}$∣f(x)−fnk​​(x)∣≤i=k∑∞​∣fni+1​​(x)−fni​​(x)∣≤i=k∑∞​2i1​=2k−11​这样，对任意的$\varepsilon>0$ε>0，存在$N$N,$n,m\ge N$n,m≥N时，对任意的$x\in I$x∈I，都有$|f_n(x)-f_m(x)|<\frac{\varepsilon}{2}$∣fn​(x)−fm​(x)∣<2ε​又存在$K$K,$n_K\ge N$nK​≥N，同时对任意的$x\in I$x∈I，有$|f_{n_K}(x)-f(x)|<\frac{\varepsilon}{2}$∣fnK​​(x)−f(x)∣<2ε​再由三角不等式$|f_n(x)-f(x)|\le |f_n(x)-f_{n_K}(x)|+|f_{n_K}(x)-f(x)|<\varepsilon$∣fn​(x)−f(x)∣≤∣fn​(x)−fnK​​(x)∣+∣fnK​​(x)−f(x)∣<ε
必要性：如果$\{f_n\}${fn​}一致收敛到$f$f，那么对任意的正数$\varepsilon>0$ε>0，存在$N$N，$n\ge N$n≥N时，对任意的$x\in I$x∈I，都有$|f_n(x)-f(x)|<\frac{\varepsilon}{2}$∣fn​(x)−f(x)∣<2ε​对任意的$n,m\ge N$n,m≥N，就有$|f_n(x)-f_m(x)|\le |f_n(x)-f(x)|+|f_m(x)-f(x)|<\varepsilon$∣fn​(x)−fm​(x)∣≤∣fn​(x)−f(x)∣+∣fm​(x)−f(x)∣<ε

定理10.2(M判别法) $\{f_n\}${fn​}是区间$I$I上的函数列，如果存在正数列$\{x_n\}${xn​}，对任意的$n$n，对任意的$x\in I$x∈I，都有$|f(x)|\le x_n$∣f(x)∣≤xn​同时正项级数$\sum_{n=1}^\infty{x_n}$∑n=1∞​xn​收敛，则函数项级数$\sum_{n=1}^\infty{f_n(x)}$∑n=1∞​fn​(x)在$I$I上一致收敛
利用柯西准则很容易证明该定理，这里就省略具体的证明过程。

狄利克雷判别法和阿贝尔判别法

如果找不到基准级数，就只能借助柯西准则判定一致收敛。同数项级数的情形，我们也可以给出函数项级数的判定方法。
定理10.3(狄利克雷判别法) $\{f_n\}${fn​}和$\{g_n\}${gn​}是区间$I$I上的两个函数列，如果：
(1)对任意的$x\in I$x∈I，$\{f_n(x)\}${fn​(x)}是单调数列，并且$\{f_n(x)\}${fn​(x)}在$I$I上一致收敛到0
(2)(一致有界)存在正数$M>0$M>0，对任意的$n$n及$x\in I$x∈I，都有$|\sum_{k=1}^{n}{g_k(x)}|\le M$∣k=1∑n​gk​(x)∣≤M则$\{f_n(x)g_n(x)\}${fn​(x)gn​(x)}在$I$I上一致收敛

定理10.4(阿贝尔判别法) $\{f_n\}${fn​}和$\{g_n\}${gn​}是区间$I$I上的两个函数列，如果：
(1)对任意的$x\in I$x∈I，$\{f_n(x)\}${fn​(x)}是单调数列，并且存在$M>0$M>0，对任意的$n$n及$x\in I$x∈I，$|f_n(x)|\le M$∣fn​(x)∣≤M
(2)函数项级数$\sum_{n=1}^\infty{g_n(x)}$∑n=1∞​gn​(x)在$I$I上一致收敛
则$\{f_n(x)g_n(x)\}${fn​(x)gn​(x)}在$I$I上一致收敛
证明和数项级数是类似的，这里就省略具体的证明过程。

一致收敛的性质

连续性

定理10.5 $\{f_n(x)\}${fn​(x)}在$I$I上一致收敛到$f(x)$f(x)，$x_0\in I$x0​∈I，如果对每一个$n$n$\lim_{x\to x_0}{f_n(x)} = x_n$x→x0​lim​fn​(x)=xn​并且$\{x_n\}${xn​}收敛到$y$y，那么$\lim_{x\to x_0}{f(x)} = y$x→x0​lim​f(x)=y
用两个极限过程来解释就是：$\lim_{x\to x_0}\lim_{n\to\infty}{f_n(x)}=\lim_{n\to\infty}\lim_{x\to x_0}{f_n(x)}$x→x0​lim​n→∞lim​fn​(x)=n→∞lim​x→x0​lim​fn​(x)也就两个极限号可交换，下面我们来证明该定理：

证：
对任意的正数$\varepsilon>0$ε>0，存在正整数$N_1$N1​，$n\ge N_1$n≥N1​，对任意的$x\in I$x∈I$|f_n(x)-f(x)|<\frac{\varepsilon}{3}$∣fn​(x)−f(x)∣<3ε​又存在正整数$N_2$N2​，$n\ge N_2$n≥N2​时$|x_n-y|<\frac{\varepsilon}{3}$∣xn​−y∣<3ε​取定一个$n\ge \max(N_1,N_2)$n≥max(N1​,N2​)，存在$\delta>0$δ>0，$0<|x-x_0|<\delta$0<∣x−x0​∣<δ时$|f_n(x)-x_n|<\frac{\varepsilon}{3}$∣fn​(x)−xn​∣<3ε​这样$|f(x)-y|\le |f(x)-f_n(x)|+|f_n(x)-x_n|+|x_n-y| <\varepsilon$∣f(x)−y∣≤∣f(x)−fn​(x)∣+∣fn​(x)−xn​∣+∣xn​−y∣<ε

推论10.1 $\{f_n\}${fn​}是区间$I$I上的连续函数列，且在$I$I上一致收敛到$f(x)$f(x)，则$f(x)$f(x)在$I$I上连续
这说明了，在一致收敛的情况下，连续性可以传递到极限函数上。
推论10.2 $\{f_n\}${fn​}是区间$I$I上的连续函数列，并且函数项级数$S(x)=\sum_{n=1}^\infty{f_n(x)}$S(x)=∑n=1∞​fn​(x)在$I$I上一致收敛，则$S(x)$S(x)是$I$I上的连续函数

积分与极限号的交换

定理10.6 $\{f_n(x)\}${fn​(x)}在$[a,b]$[a,b]上一致收敛到$f(x)$f(x)，对任意的$n$n，$f_n(x)$fn​(x)在$[a,b]$[a,b]上可积，则$f(x)$f(x)在$[a,b]$[a,b]上可积，并且$\lim_{n\to\infty}{\int_a^b{f_n(x)dx}}=\int_a^b{f(x)dx}$n→∞lim​∫ab​fn​(x)dx=∫ab​f(x)dx

如果用极限的语言表达就是$\lim_{n\to\infty}{\int_a^b{f_n(x)dx}}=\int_a^b{\lim_{n\to\infty}{f_n(x)}dx}$n→∞lim​∫ab​fn​(x)dx=∫ab​n→∞lim​fn​(x)dx
也就是积分号和极限号可交换。

证：
分两步证明：
第一，先证明可积性，再证明积分和极限号可交换。
先考察极限函数的振幅，对任意的闭区间$[a,b]$[a,b]的两点$x_1,x_2$x1​,x2​ $\tag{1} |f(x_1)-f(x_2)|\le |f(x_1)-f_n(x_1)|+|f_n(x_1)-f_n(x_2)| +|f_n(x_2)-f(x_2)|$∣f(x1​)−f(x2​)∣≤∣f(x1​)−fn​(x1​)∣+∣fn​(x1​)−fn​(x2​)∣+∣fn​(x2​)−f(x2​)∣(1)对任意的$\varepsilon>0$ε>0，存在$N$N，$n\ge N$n≥N时，对任意的$x\in [a,b]$x∈[a,b]，都有$\tag{2} |f_n(x)-f(x)|<\frac{\varepsilon}{3(b-a)}$∣fn​(x)−f(x)∣<3(b−a)ε​(2)取定一个$n$n，由$f_n(x)$fn​(x)在$[a,b]$[a,b]上可积，存在分划$\Delta$Δ$\Delta:a=x_0<x_1<\cdots<x_n=n$Δ:a=x0​<x1​<⋯<xn​=n在$\Delta$Δ上的振幅和$\sum_{k=1}^n{\omega_k(x_k-x_{k-1})}<\frac{\varepsilon}{3}$k=1∑n​ωk​(xk​−xk−1​)<3ε​对该分划，由(\ref{eq1})，对任意的$x,y\in[x_{k-1},x_k]$x,y∈[xk−1​,xk​]，都有$\tag{3} |f(x)-f(y)|\le |f(x)-f_n(x)|+|f_n(x)-f_n(y)| +|f_n(y)-f(y)|\\ <\frac{2\varepsilon}{3(b-a)}+\omega_k$∣f(x)−f(y)∣≤∣f(x)−fn​(x)∣+∣fn​(x)−fn​(y)∣+∣fn​(y)−f(y)∣<3(b−a)2ε​+ωk​(3)由(3)，设$\omega^\prime_k$ωk′​是$f(x)$f(x)在$[x_{k-1},x_k]$[xk−1​,xk​]上的振幅，就有$\tag{4} \omega^\prime_k \le \frac{2\varepsilon}{3(b-a)}+\omega_k$ωk′​≤3(b−a)2ε​+ωk​(4)由(4)，就有$\tag{5} \sum_{k=1}^n{\omega^\prime_k(x_k-x_{k-1})} \le \frac{2\varepsilon}{3} +\sum_{k=1}^n{\omega_k(x_k-x_{k-1})} <\varepsilon$k=1∑n​ωk′​(xk​−xk−1​)≤32ε​+k=1∑n​ωk​(xk​−xk−1​)<ε(5)由达布定理，$f(x)$f(x)在$[a,b]$[a,b]上可积
第二，证明积分和极限号可交换：$|\int_a^b{f_n(x)dx}-\int_a^b{f(x)dx}|\le\int_a^b{|f(x)-f_n(x)|dx}$∣∫ab​fn​(x)dx−∫ab​f(x)dx∣≤∫ab​∣f(x)−fn​(x)∣dx对任意的$\varepsilon>0$ε>0，存在$N$N，$n\ge N$n≥N时，对任意的$x\in [a,b]$x∈[a,b]，都有$|f_n(x)-f(x)|<\frac{\varepsilon}{(b-a)}$∣fn​(x)−f(x)∣<(b−a)ε​此时$\int_a^b{|f(x)-f_n(x)|dx} \le \varepsilon$∫ab​∣f(x)−fn​(x)∣dx≤ε这就证明了积分号和极限号可交换

推论10.3 函数列$\{f_n(x)\}${fn​(x)}是闭区间$[a,b]$[a,b]上的可积函数列，并且函数项级数$S(x)=\sum_{n=1}^\infty{f_n(x)}$S(x)=∑n=1∞​fn​(x)在$[a,b]$[a,b]上一致收敛，则和函数$S(x)$S(x)在闭区间$[a,b]$[a,b]上可积，并且$\int_a^b{S(x)dx} = \sum_{n=1}^\infty{f_n(x)dx}$∫ab​S(x)dx=n=1∑∞​fn​(x)dx

导数与极限号的交换

定理10.7 $\{f_n(x)\}${fn​(x)}是区间$[a,b]$[a,b]上的可导函数列，逐点收敛到$f(x)$f(x)并且导函数列$\{f^\prime_n(x)\}${fn′​(x)}在区间$[a,b]$[a,b]上一致收敛到$\sigma(x)$σ(x)，则
(1)$f_n(x)$fn​(x)在$[a,b]$[a,b]上一致收敛到$f(x)$f(x)
(2)$f(x)$f(x)在$[a,b]$[a,b]上可导，并且$f^\prime(x)=\sigma(x)\quad \forall x \in [a,b]$f′(x)=σ(x)∀x∈[a,b]

证：
第一，我们证明$\{f_n\}${fn​}在$[a,b]$[a,b]上一致收敛，用柯西准则证明
任取$x_0\in(a,b)$x0​∈(a,b)，由拉格朗日中值定理，对任意的$x\in[a,b]$x∈[a,b]$|f_n(x)-f_m(x)|\\ \le|f_n(x_0)-f_m(x_0)|+||f_n(x)-f_m(x)-(f_n(x_0)-f_m(x_0))|\\ =|f_n(x_0)-f_m(x_0)|+|f^\prime_n(\xi)-f^\prime_m(\xi)||x-x_0||\\ \le|f_n(x_0)-f_m(x_0)|+|f^\prime_n(\xi)-f^\prime_m(\xi)|(b-a)$∣fn​(x)−fm​(x)∣≤∣fn​(x0​)−fm​(x0​)∣+∣∣fn​(x)−fm​(x)−(fn​(x0​)−fm​(x0​))∣=∣fn​(x0​)−fm​(x0​)∣+∣fn′​(ξ)−fm′​(ξ)∣∣x−x0​∣∣≤∣fn​(x0​)−fm​(x0​)∣+∣fn′​(ξ)−fm′​(ξ)∣(b−a)其中$\xi$ξ介于$x,x_0$x,x0​之间，由$\{f^\prime_n(x)\}${fn′​(x)}在区间$[a,b]$[a,b]上一致收敛，由柯西准则，对任意的$\varepsilon>0$ε>0，存在$N_1$N1​,$n,m\ge N_1$n,m≥N1​时，对任意的$x\in[a,b]$x∈[a,b]，都有$|f^\prime_n(x)-f^\prime_m(x)|<\frac{\varepsilon}{2(b-a)}$∣fn′​(x)−fm′​(x)∣<2(b−a)ε​又由$\{f_n\}${fn​}在$[a,b]$[a,b]上逐点收敛到$f(x)$f(x)，存在$N_2$N2​，$n,m\ge N_2$n,m≥N2​时，都有$|f_n(x_0)-f_m(x_0)|<\frac{\varepsilon}{2}$∣fn​(x0​)−fm​(x0​)∣<2ε​即$n,m\ge\max(N_1,N_2)$n,m≥max(N1​,N2​)时，有$|f_n(x)-f_m(x)|<\varepsilon\quad \forall x \in [a,b]$∣fn​(x)−fm​(x)∣<ε∀x∈[a,b]由柯西准则$\{f_n\}${fn​}在$[a,b]$[a,b]上一致收敛到$f(x)$f(x)
第二步，证明求导和极限可交换：
任取$x_0\in[a,b]$x0​∈[a,b]，令$h_n(x)=\frac{f_n(x)-f_n(x_0)}{x-x_0}(x\neq x_0)$hn​(x)=x−x0​fn​(x)−fn​(x0​)​(x​=x0​)，$h_n(x_0)=f^\prime_n(x_0)$hn​(x0​)=fn′​(x0​)，则$h_n(x)$hn​(x)在$[a,b]$[a,b]上连续。再令$h(x)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}(x\neq x_0)$h(x)=x−x0​f(x)−f(x0​)​(x​=x0​)，$h(x_0)=\sigma(x_0)$h(x0​)=σ(x0​)，当然，$h_n(x)$hn​(x)在$[a,b]$[a,b]上逐点收敛到$h(x)$h(x)，下面证明$h_n(x)$hn​(x)在$[a,b]$[a,b]上一致收敛到$h(x)$h(x)：
由拉格朗日中值定理，存在介于$x,x_0$x,x0​之间的$\xi$ξ，满足$|h_n(x)-h_m(x)|=\frac{|f_n(x)-f_m(x)-(f_n(x_0)-f_m(x_0))|}{|x-x_0|}\\ =|f_n^\prime(\xi)-f_m^\prime(\xi)|$∣hn​(x)−hm​(x)∣=∣x−x0​∣∣fn​(x)−fm​(x)−(fn​(x0​)−fm​(x0​))∣​=∣fn′​(ξ)−fm′​(ξ)∣由柯西准则，对任意的$\varepsilon>0$ε>0，存在$N$N,$n,m\ge N$n,m≥N时,对任意的$x\in [a,b]$x∈[a,b]，都有$|f_n^\prime(x)-f_m^\prime(x)|<\varepsilon$∣fn′​(x)−fm′​(x)∣<ε从而$|h_n(x)-h_m(x)|=\frac{|f_n(x)-f_m(x)-(f_n(x_0)-f_m(x_0))|}{|x-x_0|}\\ =|f_n^\prime(\xi)-f_m^\prime(\xi)|<\varepsilon$∣hn​(x)−hm​(x)∣=∣x−x0​∣∣fn​(x)−fm​(x)−(fn​(x0​)−fm​(x0​))∣​=∣fn′​(ξ)−fm′​(ξ)∣<ε由柯西准则，$\{h_n\}${hn​}逐点收敛到$h$h，再由$\{h_n\}${hn​}的连续性，$h$h在$[a,b]$[a,b]上是连续的，从而，$f$f在$x_0$x0​处可导，导数为$\sigma(x_0)$σ(x0​)

推论10.4 $\{f_n(x)\}${fn​(x)}是区间$[a,b]$[a,b]上的可导函数列，级数$S(x)=\sum_{n=1}^\infty{f_n(x)}$S(x)=∑n=1∞​fn​(x)在$[a,b]$[a,b]上逐点收敛并且级数$\sum_{n=1}^\infty{f^\prime_n(x)}$∑n=1∞​fn′​(x)在区间$[a,b]$[a,b]上一致收敛到$\sigma(x)$σ(x)，则
(1)级数$S(x)=\sum_{n=1}^\infty{f_n(x)}$S(x)=∑n=1∞​fn​(x)在$[a,b]$[a,b]上逐点收敛
(2)$S(x)$S(x)在$[a,b]$[a,b]上可导，并且$S^\prime(x)=\sigma(x)$S′(x)=σ(x)