数学分析笔记4：一元函数微分学

导数与微分

导数的定义与性质

定义4.1 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某个邻域上有定义，如果极限 $\lim_{x\to x_0}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}$ 存在，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，该极限称为 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的导数，记为 $f^{\prime}(x_0)$ ，进一步地，如果 $f(x)$ 在区间 $I$ 的每一个点都可导，那么 $f^{\prime}(x)$ 就是区间 $I$ 上的函数，称为 $f(x)$ 在 $I$ 上的导函数，简称导数

定理4.1 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，那么 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续

证：
$f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，那么极限 $\lim_{x\to x_0}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}$ 存在，而 $\lim_{x\to x_0}{(x-x_0)}=0$ 因此，就有 $\lim_{x\to x_0}{(f(x)-f(x_0))}=\lim_{x\to x_0}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}(x-x_0)}=\lim_{x\to x_0}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}.\lim_{x\to x_0}{(x-x_0)}=0$ 因此， $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续

但连续函数不一定可导，甚至连续函数可能处处不可导。
定义4.2 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某个右(左)半邻域有定义，如果极限 $\lim_{x\to {x_0}^{+}}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}} (\lim_{x\to {x_0}^{-}}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}})$ 存在， $f(x)$ 在 $x_0$ 处的右(左)导数存在，该极限值称为 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的右(左)导数，记为 $f^{\prime +}(x_0)(f^{\prime -}(x_0))$

根据左右极限和函数极限的关系，有
定理4.2 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导的充分必要条件是 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的左右导数存在且相等

下面，我们来证明导数的一些运算法则：
定理4.3
(1) $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $x_0$ 处可导，则 $f(x)+g(x)$ 在 $x_0$ 处可导，并且 $f(x)+g(x)$ 在 $x_0$ 处的导数为 $f^{\prime}(x_0) +g^{\prime}(x_0)$
(2) $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，则对任意的实数 $c$ ， $cf(x)$ 在 $x_0$ 处可导，并且 $cf(x)$ 在 $x_0$ 处的导数为 $cf^{\prime}(x_0)$
(3) $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $x_0$ 处可导，则 $f(x)g(x)$ 在 $x_0$ 处可导，并且 $f(x)g(x)$ 在 $x_0$ 处的导数为 $f(x_0)g^{\prime}(x_0)+f^{\prime}(x_0)g(x_0)$
(4) $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $x_0$ 处可导，并且 $g(x_0)\neq 0$ ，则 $\frac{f(x)}{g(x)}$ 在 $x_0$ 处可导， $\frac{f(x)}{g(x)}$ 在 $x_0$ 处的导数为 $\frac{f^{\prime}(x_0)g(x_0)-g^{\prime}(x_0)f(x_0)}{g^{2}(x_0)}$

证：
(1)(2)由极限的四则运算法则是显然的，仅证(3)(4)
(3)考察变化率 $\begin{aligned} \frac{ f(x)g(x) - f(x_0)g(x_0) }{ x-x_0 } =\frac{ f(x)g(x) - f(x_0)g(x) + f(x_0)g(x) - f(x_0)g(x_0) }{ x-x_0 }\\ =g(x)\frac{ f(x) - f(x_0) }{ x - x_0 } + f(x_0) \frac{ g(x)-g(x_0) }{x - x_0}\\ \end{aligned}$ 再由 $g(x)$ 在 $x_0$ 处连续，令 $x\to x_0$ ，即可证得结论
(4)先证明 $(\frac{1}{g(x)})^{\prime}(x_0) =-\frac{ g^{\prime}(x_0) }{ g^{2}(x_0) }$ 考察变化率函数 $\begin{aligned} \frac{ \frac{1}{g(x)} - \frac{1}{g(x_0)} }{x-x_0} =-\frac{g(x)-g(x_0)}{ g(x)g(x_0)(x-x_0) } \end{aligned}$ 由 $g(x)$ 的连续性及在 $x_0$ 处的可导性，两边对 $x\to x_0$ 取极限即可证得
在应用(3)的结论就可以证得(4)

复合函数也有相应的求导法则
定理4.4 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导， $g(y)$ 在 $y_0=f(x_0)$ 处可导，则 $g(f(x))$ 在 $x_0$ 处可导， $g(f(x))$ 处导数为 $f^{\prime}(x_0)g^{\prime}(f(x_0))$

证：
考察变化率函数 $\frac{ g(f(x))-g(f(x_0)) }{ x-x_0 }$ 由于可能在每个 $x_0$ 的去心邻域上，都可能存在 $x$ ， $f(x)=f(x_0)$ ，
我们不能替换成： $\frac{ g(f(x))-g(f(x_0)) }{ x-x_0 } =\frac{ g(f(x))-g(f(x_0)) }{ f(x)-f(x_0) } \frac{ f(x)-f(x_0) }{ x-x_0 }$ 进行证明，实际上，对 $f(x)=f(x_0)$ 的点，我们补充一个定义 $F(x)= \begin{cases} g^{\prime}(y_0)&f(x)=f(x_0)\\ \frac{ g(f(x))-g(f(x_0)) }{ f(x)-f(x_0) }& f(x)\neq f(x_0) \end{cases}$ 这样， $g(f(x)) - g(f(x_0)) =F(x)(f(x)-f(x_0))$ 就有 $\frac{ g(f(x)) - g(f(x_0)) }{x - x_0} =F(x) \frac{ f(x)-f(x_0) }{x-x_0}$ 而 $F(x)-F(x_0)= \begin{cases} 0 & f(x)=f(x_0)\\ \frac{ g(f(x))-g(y_0) }{ f(x)-y_0} -g^{\prime}(y_0) & f(x)\neq f(x_0) \end{cases}$ $\forall \varepsilon>0$ , $\exists \delta_1>0$ ， $0<|y-y_0|<\delta_1$ 时， $|\frac{g(y)-g(y_0)}{y-y_0} - g^{\prime}(y_0)|<\varepsilon$ $\exists \delta_2>0$ , $0<|x-x_0|<\delta_2$ 时， $|f(x)-y_0|<\delta_1$
如果 $f(x)\neq y_0$ $|\frac{g(f(x))-g(y_0)}{f(x)-y_0} - g^{\prime}(y_0)|<\varepsilon$ 综上， $0<|x-x_0|<\delta_2$ 都有 $|F(x)-F(x_0)|<\varepsilon$ 成立， $F(x)$ 在 $x_0$ 处连续。对(\ref{eq6})两边取极限，就可以证得结论

定理4.5 $f(x)$ 在 $x_0$ 附近上严格单调并在 $x_0$ 可导， $f^{\prime}(x_0)\neq 0$ ，则反函数 $f^{-1}(y)$ 在 $y_0=f(x_0)$ 也可导，并且 $f^{-1 \prime}(y_0) = \frac{1}{f^{\prime}(x_0)}$

证：
考察变化率函数 $\frac{ f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0) }{y-y_0} =\frac{1} { \frac{y-y_0}{ f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0) } }\\ =\frac{1} { \frac{ f(f^{-1}(y))-f(f^{-1}(y_0)) }{ f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0) } }$ 而 $\lim_{y\to y_0}{ \frac{ f(f^{-1}(y))-f(f^{-1}(y_0)) }{ f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0) } } =f^{\prime}(f^{-1}(y_0))$ 两边取极限可以证得结论

初等函数的导数

例4.1 $(\sin{x})^{\prime} = \cos{x}$

证：
$\begin{aligned} \lim_{\Delta x \to 0} { \frac { \sin{(x+\Delta x)} - \sin{x} } {\Delta x} } =\lim_{\Delta x \to 0}{ \frac{ \sin{\Delta x}\cos{x} + \cos{\Delta x}\sin{x} - \sin{x} } {\Delta x} }\\ =\lim_{\Delta x \to 0}{ \frac{ \sin{\Delta x}\cos{x} +\sin{x}(\cos{\Delta x}-1) } {\Delta x} } =\cos{x}\lim_{\Delta x \to 0}{ \frac{\sin{\Delta x}} {\Delta x} }+\sin{x}\lim_{\Delta x \to 0}{ \frac{\cos{\Delta x}-1} {\Delta x} } =\cos{x} \end{aligned}$

例4.2 $(\cos{x})^{\prime} = -\sin{x}$

证：
$\begin{aligned} \lim_{\Delta x\to 0}{ \frac{\cos{x+\Delta x}-\cos{x}} {\Delta x} } =\cos{x}\lim_{\Delta x\to 0}{ \frac{\cos{\Delta x}-1} {\Delta x} }-\sin{x}\lim_{\Delta x\to 0}{ \frac{\sin{\Delta x}} {\Delta x} } =-\sin{x} \end{aligned}$

这样，其他三角函数的导数也可以求出来：
例4.3
$(\tan{x})^{\prime}=( \frac{\sin{x}} {\cos{x}} )^{\prime}= \frac{ (\sin{x})^{\prime}\cos{x} -(\cos{x})^{\prime}\sin{x} } {\cos^{2}x}= \frac{1} {\cos^{2}x}$
例4.4
$(\arcsin{x})^{\prime}=\frac{1} {\cos{\arcsin{x}}} =\frac{1} {\sqrt{1-\sin^2{\arcsin{x}}}} =\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ 同样地，有 $(\arccos{x})^{\prime} = -\frac{1} {\sqrt{1-x^2}}$

例4.5 由三角函数等式： $1+\tan^2{x}=\sec^2{x}=\frac{1} {\cos^2{x}}$ $(\arctan{x})^{\prime} = \frac{1} {\tan^{\prime}(\arctan{x})} =\cos^2(\arctan{x})= \frac{1} {1+\tan^2{\arctan{x}}} =\frac{1}{1+x^2}$

这样，三角函数和反三角函数的导数都是有解析表达式的。
例4.6 指数函数的导数： $(a^x)^\prime = a^x\ln{a}$ 对数函数的导数： $(\log_{a}{x})^{\prime} = \frac{1}{x\ln{a}}$

证：
$\lim_{\Delta x \to 0}{ \frac{a^{x+\Delta x}-a^x} {\Delta x} }=a^x\lim_{\Delta x \to 0}{ \frac{a^{\Delta x}-1} {\Delta x} } =a^x\lim_{\Delta x \to 0}{ \frac{e^{\Delta x\ln{a}}-1} {\Delta x} }=a^x\lim_{\Delta x \to 0}{ \frac{\Delta x\ln{a}} {\Delta x} }=a^x\ln{a}$ 从而对数的函数的导数为 $(\log_{a}{x})^{\prime} = \frac{1} {a^{\log_{a}{x}}\ln{a} } = \frac{1}{x\ln{a}}$ 特别地， $(e^x)^\prime = e^x$ $(\ln{x})^{\prime} = \frac{1}{x}$

例4.6 幂函数的导数： $x>0$ 时， $(x^\alpha)^\prime = \alpha x^{\alpha -1}$

证：
$\lim_{\Delta x\to 0}{ \frac{(x+\Delta x)^\alpha - x^\alpha} {\Delta x} }= x^{\alpha}\lim_{\Delta x \to 0}{ \frac{ (1+\frac{\Delta x}{x})^\alpha -1 } {\Delta x} }=x^\alpha \lim_{\Delta x\to 0}{ \frac{\alpha \frac{\Delta x}{x}} {\Delta x} }=\alpha x^{\alpha -1}$

微分与导数的关系

导数有着明确的几何意义，有了导数，我们就可以在局部，把一个复杂的函数视为是线性函数。
定义4.2 $f(x)$ 在 $x_0$ 附近有定义，如果 $f(x)$ 在 $x_0$ 附近可表为 $f(x)=f(x_0)+A\Delta x + o(\Delta x)$ 其中， $\Delta x = x - x_0$ ， $A$ 是与 $x$ 无关的常数，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可微，线性函数 $df(x)=A\Delta x$ 称为是 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的微分

如果 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可微，当 $\Delta x$ 足够小时，就可以近似地认为 $f(x)\approx f(x_0)+A\Delta x$
定理4.6 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可微的充要条件是 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，并且 $df(x) = f^{\prime}(x_0)\Delta x$

我们称 $y=f(x_0)+f^{\prime}(x_0)(x-x_0)$ 是曲线 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处的切线，那么导数 $f^{\prime}(x_0)$ 就是切线的斜率。

证：
必要性，如果 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可微，有 $f(x)-f(x_0)=A(x-x_0)+o(x-x_0)$ 两边除以 $x-x_0$ ，再令 $x\to x_0$ ，就有 $A=f^{\prime}(x_0)$
充分性，如果 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，则 $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} - f^{\prime}(x_0)$ 是 $x\to x_0$ 过程的无穷小量，即 $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} - f^{\prime}(x_0) = \alpha$ 其中， $\alpha$ 是 $x\to x_0$ 过程的无穷小量，就可以得到 $f(x)-f(x_0)=f^{\prime}(x_0)(x-x_0)+(x-x_0)\alpha =f^{\prime}(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0)$

高阶导数

同样地，我们可以定义导数的导数，导数的导数的导数， $\cdots$ 。记 $f^{(k)}$ 为k阶导数，表示对 $f(x)$ 求k次导数。高阶导数的计算常常要使用数学归纳法，下面我们给出若干例子。
例4.7 $f(x),g(x)$ 对 $x_0$ 有直到 $n$ 阶导数，则 $(fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n}{C_n^k f^{(k)}g^{(n-k)}}$

证：
用数学归纳法证明：首先 $n=1$ 时结论是成立的。
假设 $n=m$ 时结论是成立的。即如果 $f(x),g(x)$ 对 $x_0$ 有直到 $m$ 阶导数，则 $(fg)^{(m)} = \sum_{k=0}^{m}{C_m^k f^{(k)}g^{(m-k)}}$ 假设 $f(x),g(x)$ 对 $x_0$ 有直到 $m+1$ 阶导数，那么 $(fg)^{(m)} = \sum_{k=0}^{m}{C_m^k f^{(k)}g^{(m-k)}}$ 于是有 $(fg)^{(m+1)}=((fg)^{(m)})^{\prime} =\sum_{k=0}^{m}{C_m^k (f^{(k+1)}g^{(m-k)} + f^{(k)}g^{(m-k+1)})}\\ =\sum_{k=1}^{m+1}{C_m^{k-1} f^{(k)}g^{(m-k+1)}} +\sum_{k=0}^{m}{C_m^k f^{(k)}g^{(m-k+1)}}\\ =C_m^0 f^{(0)}g^{(m+1)}+C_m^m f^{(m+1)}g^{(0)} +\sum_{k=1}^{m}{(C_m^k+C_m^{k-1}) f^{(k)}g^{(m-k+1)}}\\ =C_{m+1}^0 f^{(0)}g^{(m+1)}+C_{m+1}^{m+1} f^{(m+1)}g^{(0)} +\sum_{k=1}^{m}{C_{m+1}^k f^{(k)}g^{(m-k+1)}}$ 由数学归纳法，对任意的 $n\ge 1$ 等式都成立。

例4.7的公式称为莱布尼兹公式。另外，由导数的线性性质，高阶导数也是线性运算。
例4.8 由归纳法同样可以证明： $(\cos{x})^{(k)}=\cos{(x+\frac{k\pi}{2})}$ $(\sin{x})^{(k)}=\sin{(x+\frac{k\pi}{2})}$

例4.9 求 $\arctan{x}$ 的 $n$ 阶导数

解：令 $y(x)=\arctan{x}$ ，由反函数的求导法则，有 $y^{(1)}(x)=\cos^2{y(x)}$ 由复合函数求导法则，再求二阶导： $y^{(2)}(x) =-2\sin{y(x)}\cos^3{y(x)}=-\cos^2{y(x)}\sin{2y(x)}$ 再求三阶导 $y^{(3)}(x) =-y^{\prime}(x) [-2\cos{y(x)}\sin{y(x)}\sin{2y(x)}+2\cos^2{y(x)}\cos{2y(x)}]\\ =-2\cos{y(x)}y^{\prime}(x)\cos{3y(x)} =-2\cos^3{y(x)}\cos{3y(x)}$ 再求多一阶导就可以发现规律 $y^{(4)}(x) =-2y^{\prime}(x) [-3\cos^2{y(x)}\sin{y(x)}\cos{3y(x)}-3\cos^3{y(x)}\sin{3y(x)}]\\ =6\cos^4{y(x)}\sin{4y(x)}$
猜想： $y^{(k)}(x)=(k-1)!\cos^k{y(x)}\sin{(ky(x)+\frac{k\pi}{2})}$ 再用数学归纳法证明即可。

微分中值定理

三大微分中值定理

接下来我们转为讨论闭区间上连续，开区间上可导的函数，首先，我们要给出一个引理。
引理4.1 $f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极大值(极小值)，并且在 $x_0$ 处导数存在，则 $f^{\prime}(x_0)=0$

证：
由 $f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极大值，存在一个 $x_0$ 的邻域 $B(x_0,\delta)$ ，对任意的 $x\in B(x_0,\delta)$ ，有 $f(x)-f(x_0)\le 0$ 当 $x> x_0$ 时， $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \le 0$ 从而 $\lim_{x\to x_0^+}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}} =f^{\prime}(x_0) \le 0$ 同理，有 $\lim_{x\to x_0^-}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}} =f^{\prime}(x_0) \ge 0$ 因此, $f^{\prime}(x_0)=0$

定理4.7（罗尔定理） $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，开区间 $(a,b)$ 上可导，如果 $f(a)=f(b)$ ，则存在 $\xi \in (a,b)$ , $f^{\prime}(\xi)=0$

证：
如果 $\forall x \in (a,b)$ , $f(x)=f(a)=f(b)$ ，那么 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上是常数函数，那么结论显然是成立
设 $M$ 是 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最大值， $m$ 是 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最小值，那么不妨设 $m<M$ ， $M=f(x_1),m=f(x_2)$ ，同时， $x_1,x_2$ 至少有一个不为端点，设 $x_1$ 不为端点，那么， $x_1$ 是 $f(x)$ 的一个极值点，那么 $x_1$ 就满足条件

我们可以从图中直观地感受罗尔定理：
数学分析笔记4：一元函数微分学
由图示，如果 $[a,b]$ 上的连续函数在两边是相等的，那么，最值一定在中间 $(a,b)$ 取得，而最值点导数就为0，将罗尔定理“旋转”一下，就得到拉格朗日中值定理。

定理4.8 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续， $(a,b)$ 上可导，则存在 $\xi \in (a,b)$ ， $f^{\prime}(\xi) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$
在证明之前，我们先直观地看拉格朗日中值定理的几何意义。
数学分析笔记4：一元函数微分学
$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 是过 $A(a,f(a)),B(b,f(b))$ 两点直线的斜率，实际上，将坐标轴旋转，使得 $x$ 轴与该直线平行，在这个角度看 $f(x)$ ， $f(a)=f(b)$ ，因此，我们可以认为拉格朗日中值定理是在另一个坐标轴视角下的罗尔定理。

证：
令 $F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a} (x-a)$ ， $F(b)=F(a)=0$ ，由罗尔定理，存在 $\xi \in (a,b)$ ， $F^{\prime}(\xi)=f^{\prime}(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0$

为了介绍柯西中值定理，我们首先介绍函数的参数方程形式，实际上，对于一条曲线 $y=f(x)$ ，除了以函数形式表示该曲线，还可以令 $\begin{cases} x=t\\ y=f(t) \end{cases}$ 来表示该条曲线。更一般地， $f(t),g(t)$ 是 $[a,b]$ 上的连续， $(a,b)$ 上可导的函数， $\begin{cases} x=f(t)\\ y=g(t) \end{cases}$ 就表示平面上的一条曲线，进一步地，我们要求 $f(t)$ 的导数不为0，那么 $f(t)$ 的导数只能恒为正或恒为负。这可由达布中值定理证明。
定理4.9 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续， $(a,b)$ 上可导，如果存在两点 $x_1,x_2\in (a,b)$ ， $f^{\prime}(x_1)=A<f^{\prime}(x_2)=B$ ，那么对任意的 $\tau \in (A,B)$ ，存在介于 $x_1$ 和 $x_2$ 之间的 $\xi$ ， $f^{\prime}(\xi)=\tau$

证：
不妨设 $x_1<x_2$ ，将 $f(x)$ 限制在 $[x_1,x_2]$ 之间，令
$g(x)=f(x)-\tau x$ 则 $g^{\prime}(x_1)<0,g^{\prime}(x_2)>0$ 由极限的局部保号性， $\exists \delta_1>0$ ， $x_1<x<x_1+\delta_1$ 时 $\frac{g(x)-g(x_1)} {x-x_1}<0$ 从而， $g(x)<g(x_1)$ ， $x_1$ 不是 $g(x)$ 在 $[x_1,x_2]$ 上的最小值点。同样 $x_2$ 也不是 $g(x)$ 在 $[x_1,x_2]$ 上的最小值点。设 $\xi$ 是 $g(x)$ 在 $[x_1,x_2]$ 上的最小值点，则 $x_1<\xi<x_2$ ，则
$g^{\prime}(\xi)=f^{\prime}(\xi)-\tau=0$

不妨设 $f^{\prime}(x)>0(x\in(a,b))$ ，由拉格朗日中值定理， $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上严格单调上升，这样 $f(t)$ 就存在反函数， $t=f^{-1}(x)$ ，这样，就有 $y=g(f^{-1}(x))$ ，就把参数方程化为函数形式，由复合函数求导法则： $\frac{dy}{dx}=f^{-1\prime}(x)g^{\prime}(t) =\frac{1}{f^{\prime}(t)}g^{\prime}(t) =\frac{g^{\prime}(t)}{f^{\prime}(t)}$ 过参数方程曲线两端的直线斜率应当为 $\frac{g(b)-g(a)}{f(b)-f(a)}$ 按拉格朗日中值定理的观点，应当存在 $\xi\in(a,b)$ ，满足
$\frac{g(b)-g(a)}{f(b)-f(a)} = \frac{g^\prime(\xi)}{f^\prime(\xi)}$ 这就是柯西中值定理。
定理4.10 $f(t),g(t)$ 在 $[a,b]$ 上连续， $(a,b)$ 上可导，并且 $f(t)$ 导数不为0，则存在 $\xi\in(a,b)$ ，满足 $\frac{g(b)-g(a)}{f(b)-f(a)} = \frac{g^\prime(\xi)}{f^\prime(\xi)}$

证：
令 $F(x) = g(x)-g(a)-\frac{g(b)-g(a)}{f(b)-f(a)}(f(x)-f(a))$ ， $F(b)=F(a)=0$ ，在应用罗尔定理即可证得结论

洛必达法则

柯西中值定理提供了一种计算极限的简化方式。
定理4.11（洛必达法则1） $f(x),g(x)$ 在 $x_0$ 的某个右半去心邻域(左半去心邻域)上可导，并且满足：
(1) $\lim_{x\to x_0^+}{f(x)}=\lim_{x\to x_0^+}{g(x)} = 0$ ( $\lim_{x\to x_0^-}{f(x)}=\lim_{x\to x_0^-}{g(x)} = 0$ )
(2) $g(x)$ 在该邻域内导数恒不为0
(3) $\lim_{x\to x_0^+}{\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}}=A$ ( $\lim_{x\to x_0^-}{\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}}=A$ )
则 $\lim_{x\to x_0^+}{\frac{f(x)}{g(x)}}=A$ ( $\lim_{x\to x_0^-}{\frac{f(x)}{g(x)}}=A$ )

证：
仅证右极限情形，左极限是类似的，补充定义 $f(x_0)=g(x_0)=0$ ，对该邻域内的一点 $x$ ，有 $\frac{f(x)}{g(x)} =\frac{f(x)-f(x_0)}{g(x)-g(x_0)} =\frac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)} (\xi \in (x_0,x))$ 令 $x_0\to x$ 即可

对 $x\to\infty$ ，也有类似的结论。
定理4.12（洛必达法则2） $f(x),g(x)$ 在 $(a,+\infty)((-\infty,a))$ 可导，并且满足：
(1) $\lim_{x\to +\infty}{f(x)}=\lim_{x\to +\infty}{g(x)}=0(\lim_{x\to -\infty}{f(x)}=\lim_{x\to -\infty}{g(x)}=0)$
(2) $g(x)$ 在 $(a,+\infty)((-\infty,a))$ 上导数恒不为0
(3) $\lim_{x\to +\infty}{\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}}=A$ ( $\lim_{x\to -\infty}{\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}}=A$ )
则 $\lim_{x\to +\infty}{\frac{f(x)}{g(x)}}=A$ ( $\lim_{x\to-\infty}{\frac{f(x)}{g(x)}}=A$ )

证：
令 $F(t)=f(\frac{1}{t}),G(t)=g(\frac{1}{t})$ ，补充定义 $F(0)=G(0)=0$ ，则 $\lim_{t\to 0^+}{F(t)}{G(t)}= \lim_{t\to 0^+}{F^{\prime}(t)}{G^{\prime}(t)} =\lim_{t\to 0^+}{ \frac{ f^\prime(\frac{1}{t}) (-\frac{1}{t^2}) } { g^\prime(\frac{1}{t}) (-\frac{1}{t^2}) } } =\lim_{t\to 0^+}{ \frac{ f^\prime(\frac{1}{t}) } { g^\prime(\frac{1}{t}) } } =A$

对 $\infty/\infty$ 型极限，也有相应的洛必达法则
定理4.13（洛必达法则3） $f(x),g(x)$ 在 $x_0$ 的某个右半去心邻域(左半去心邻域)上可导，并且满足：
(1) $\lim_{x\to x_0^+}{f(x)}=\lim_{x\to x_0^+}{g(x)} = \infty$ ( $\lim_{x\to x_0^-}{f(x)}=\lim_{x\to x_0^-}{g(x)} = \infty$ )
(2) $g(x)$ 在该邻域内导数恒不为0
(3) $\lim_{x\to x_0^+}{\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}}=A$ ( $\lim_{x\to x_0^-}{\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}}=A$ )
则 $\lim_{x\to x_0^+}{\frac{f(x)}{g(x)}}=A$ ( $\lim_{x\to x_0^-}{\frac{f(x)}{g(x)}}=A$ )

定理4.14（洛必达法则4） $f(x),g(x)$ 在 $(a,+\infty)((-\infty,a))$ 可导，并且满足：
(1) $\lim_{x\to +\infty}{f(x)}=\lim_{x\to +\infty}{g(x)}=\infty(\lim_{x\to -\infty}{f(x)}=\lim_{x\to -\infty}{g(x)}=\infty)$
(2) $g(x)$ 在 $(a,+\infty)((-\infty,a))$ 上导数恒不为0
(3) $\lim_{x\to +\infty}{\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}}=A$ ( $\lim_{x\to -\infty}{\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}}=A$ )
则 $\lim_{x\to +\infty}{\frac{f(x)}{g(x)}}=A$ ( $\lim_{x\to-\infty}{\frac{f(x)}{g(x)}}=A$ )

我们仅证明定理4.12，定理4.13的证明和定理4.12的证明是类似的。

证：
在这种情况下，我们不能以补充定义的形式来模仿定理4.11的证明。
为了应用柯西中值定理，我们先由条件 $\lim_{x\to x_0^+}{\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}}=A$ ，对任意的 $\varepsilon>0$ ，存在 $\delta_1>0$ ，对任意的 $x_0<x<x_0+\delta_1$ 时，都有 $|\frac{ f^{\prime}(x) } { g^\prime(x) } - A| <\frac{\varepsilon}{2}$ 任取 $x_0<a<x_0+\delta_1$ ，由柯西中值定理，就有 $|\frac { f(x) - f(a) } {g(x)-g(a)} - A|<\frac{\varepsilon}{2}$ 下面我们证明 $\frac{f(x)}{g(x)}$ 局部有界：
实际上 $\frac { f(x) - f(a) }{g(x)-g(a)}$ 是局部有界的。并且，有 $\frac { f(x) - f(a) } {g(x)-g(a)} = \frac { \frac{f(x)}{g(x)} - \frac{f(a)}{g(x)} } {1-\frac{g(a)}{f(x)}}$ 如果 $\frac { f(x) } {g(x)}$ 不是局部有界的，那么可以取得点列 $\{x_n\}$ ， $x_n>x_0$ , $x_n\to x_0$ ， $\frac { f(x_n) } {g(x_n)}\to\infty$ ，但是，注意到： $\frac{f(a)}{g(x_n)}\to 0$ $\frac{g(a)}{g(x_n)}\to 0$ 那么：
$\frac { \frac{f(x_n)}{g(x_n)} - \frac{f(a)}{g(x_n)} } {1-\frac{g(a)}{f(x_n)}} \to \infty$ 与 $\frac { f(x) - f(a) } {g(x)-g(a)}$ 局部有界矛盾，因此，存在 $M>0$ ，存在 $\delta_2>0$ ， $x_0<x<x_0+\delta_2$ 时 $|\frac{f(x)}{g(x)}|\le M$ 而 $\frac{f(x)}{g(x)} - \frac { f(x) - f(a) } {g(x)-g(a)}\\ =\frac{f(x)}{g(x)}[1-\frac{1}{1-\frac{g(a)}{f(x)}}]$ 而 $1-\frac{1}{1-\frac{g(a)}{f(x)}} \to 0(x\to x_0^+)$ ，因此 $\frac{f(x)}{g(x)} - \frac { f(x) - f(a) } {g(x)-g(a)} \to 0(x\to x_0^+)$ 又存在 $\delta_3>0$ ， $x_0<x<x_0+\delta_3$ 时，有 $|\frac{f(x)}{g(x)} - \frac { f(x) - f(a) } {g(x)-g(a)}|<\frac{\varepsilon}{2}$ 当 $x_0<x<x_0+\min(\delta_1,\delta_2,\delta_3)$ 时，有 $|\frac{f(x)}{g(x)} - A| \le |\frac { f(x) - f(a) } {g(x)-g(a)} - A| + |\frac{f(x)}{g(x)} - \frac { f(x) - f(a) } {g(x)-g(a)}| < \varepsilon$