数学分析 多元函数的极限和连续性

一.平面点集与多元函数
1.平面点集
(1)坐标平面与平面点集:

注:①或简称"数对"
②一般地,对于$∀2$∀2个数集(或点集)$A,B$A,B,记$A×B=\{(x,y)\,|\,x∈A,y∈B\}$A×B={(x,y)∣x∈A,y∈B},称为$A$A与$B$B的直积;例如$A=\{(u,v)\,|\,u^2+v^2≤1\},B=[0,1]$A={(u,v)∣u2+v2≤1},B=[0,1],则$A×B=\{(u,v,w)\,|\,u^2+v^2≤1,0≤w≤1\}$A×B={(u,v,w)∣u2+v2≤1,0≤w≤1}

(2)邻域与空心邻域:

注:空心邻域又称去心邻域

(3)点与点集的关系:


(4)一些重要的平面点集:

约定空集$Φ$Φ既是开集又是闭集;还可证明在一切平面点集中,除空集外,只有$R^2=\{(x,y)\,|\,x,y∈R\}$R2={(x,y)∣x,y∈R}既是开集又是闭集

(5)点集的直径:

根据距离概念,可证明:对$R^2$R2上$∀3$∀3点$P_1,P_2,P_3$P1​,P2​,P3​,都有$ρ(P_1,P_2)≤ρ(P_1,P_3)+ρ(P_2,P_3)$ρ(P1​,P2​)≤ρ(P1​,P3​)+ρ(P2​,P3​)上式称为三角不等式

2.$R^2$R2上的完备性定理

3.二元函数

二.二元函数的极限
1.二元函数的极限

2.累次极限

三.二元函数的连续性
1.二元函数的连续性概念

2.有界闭域上连续函数的性质