数学分析 函数的连续性

一.连续性
1.函数在1点的连续性
(1)增量:

(2)连续性的定义(3种):




2.左(右)连续性:

3.函数连续的充要条件(定理4.1):

函数f在点x₀处连续的充要条件是:f在x₀处既是左连续的,又是右连续的

4.间断点
(1)定义:

(2)分类:

函数f的间断点x₀的情况必为下述3种之一::
①f在x₀处无定义
②f在x₀处有定义但$\displaystyle \lim_{x \to x_0}{f(x)}$x→x0​lim​f(x)不存在
③f在x₀处有定义且$\displaystyle \lim_{x \to x_0}{f(x)}$x→x0​lim​f(x)存在(指有限极限,不包括非正常极限),但$\displaystyle \lim_{x \to x_0}{f(x)}$x→x0​lim​f(x)≠$f(x_0)$f(x0​)
据此,可对函数的间断点进行分类

①第一类间断点:左/右极限均存在,仅包括以下2类
–i.可去间断点

可去间断点可通过下述方法转换成连续点:

–ii.跳跃间断点

第二类间断点:左/右极限至少有1个不存在(即其他形式的间断点),除以下2类还有很多类
–i.无穷间断点
–ii.震荡间断点

5.连续函数:

二.连续函数的性质
1.连续函数的局部性质
(1)局部有界性(定理4.2):

若函数f在点x₀处连续,则f在某U(x₀)上有界

(2)局部保号性(定理4.3):

若函数f在点x₀处连续,且f(x)>0(或<0),则对∀0<r<f(x₀)(或0<r<-f(x₀),∃某U(x₀),使对∀x∈U(x₀),有f(x)>r(或f(x)<-r)
在具体应用局部保号性时,常取r=$\frac{1}{2}f(x_0)$21​f(x0​),则当$f(x_0)>0$f(x0​)>0时,∃某U(x₀),使在其上有f(x)>$\frac{1}{2}f(x_0)$21​f(x0​)

(3)有限次四则运算不改变连续性(定理4.4):
(4)有限次复合运算不改变连续性(定理4.5):
2.闭区间上连续函数的性质
(1)最大值与最小值:
(2)最大/最小值定理:
(3)介值性定理:
3.反函数的连续性

三.初等函数的连续性