幂函数的连续性

设$p$为实数，那么由$f(x)=x^p$定义的函数$f:\mathbf{R}\to \mathbf{R}$是连续的.


证明:即证明
  \begin{align*}
    \lim_{x\to x_0}x^p=x_0^p
  \end{align*}
  即证明
  \begin{align*}
    \lim_{x\to x_0}(\frac{x_0}{x})^p=1
  \end{align*}
  即证明
  \begin{align*}
    \lim_{\delta\to 0}(1+\delta)^p=1
  \end{align*}

当$p$是正整数时，这用二项式定理很容易证明.当$p$是负整数时，可以很容易转化为正整数的情形(怎么转化?).因此，根据夹逼定理，很容易证明

  \begin{align*}
    \lim_{\delta\to 0}(1+\delta)^p=1
  \end{align*}