使用平板实现平面点定位

Question

我正在研究平面点位置，现在正在考虑使用 The Slabs 方法。

我已经阅读了几篇文章：

• Planar Point Location Using Persistent Search Trees

• Persistent Data Structures

• Point location on Wikipedia

我理解持久平衡二叉搜索树背后的概念，但我们在这个问题中忽略它们，我并不关心额外的存储空间开销。文章的内容是他们正在讨论如何提高速度，但不解释基本内容。例如：

如果我错了，请纠正我：

1. 我们在所有交叉点上画一条线。

2. 现在，我们的平板被不同角度的线段分割。

3. 与任何线的每个交点都被视为一个顶点。

4. Slab 在二叉搜索树中按顺序排序（让我们省略部分持久的 bst）

5. 不知何故，扇区在那些各自的 BST 中排序，即使分割它们的段几乎总是成一个角度。是不是每个节点都要带一个面积的定义？

请参考此示例图片：

问题：

1. 我如何才能真正确定该点是否位于节点 c 而不是节点 b 中？是不是通过区域？

2. 我是否需要安排我的节点以包含有关段的信息？然后我可以检查查询点是否位于段上方（如果这是我应该确定我的扇区的方式）？如果是这样，我会在之后搜索一个多边形列表，看看这个特定段属于哪个多边形吗？

3. 也许我需要为每条线而不是平板存储 BST？

4. 然后我是否必须查看属于左侧线的 2 个 BST，以及从顶点到右侧的第二个线？然后，我可以按每棵树中的 y 坐标对顶点进行排序，并返回查询点正下方的顶点（段的末尾）的 y 坐标。为左右线完成此操作后，我将进行比较以查看这些顶点来自的段的名称是否实际匹配。

5. 但是，这不会给我正确的答案，因为即使名称匹配，我也可能低于或高于该段（如果我接近它）。此外，这意味着我必须进行 3 次二进制搜索（1 次用于线，1 次用于左行的 y 坐标，1 次用于右行），并且书籍说我只需要进行 2 次搜索（1 次用于平板，第二次部门）。

有人可以指点我做这件事的方向吗？

我可能只是错过了一些重要的想法或其他东西。

编辑：

Here 是另一篇好文章，它解释了问题的解决方案，但是，我不太明白如何实现以下目标：

"考虑任意查询点 q ∈ R2。要找到 G 的包含 q 的面，我们首先使用 q 的 x 坐标进行二分查找，找到包含 q 的垂直平板 s。给定 s，我们使用 q 的 y 坐标进行二分搜索来找到 q 所在的 Es 的边。"

如何准确找到这两条边？是否像检查点是否位于线段下方一样简单？然而，这似乎是一项复杂的检查（而且成本很高），因为我们沿着树向下检查其他节点。

Answer 1

嗯，这是一年前问的，所以我猜你不会接受这个答案。不过，这是一个有趣的问题，所以不管怎样……

• 是的，您可以使用穿过每个交叉点的垂直线将平面划分为多个板。重要的结果是所有接触到平板的线段都会一直穿过，并且这些线段的顺序在整个平板上都是相同的。

• 在每个slab 中，您为这些线段创建一个二叉搜索树，按它们在slab 中的顺序排序。您称为“节点”的区域是树的叶子，线段是内部节点。我将把叶子称为“区域”以避免歧义。由于线段的顺序在整个平板上是相同的，因此这棵树中的顺序对平板中的每个 x 坐标都有效。

• 要确定包含任何点的区域，请找到包含该点的平板，然后在 BST 中进行简单搜索以找到该区域。

• 假设您正在寻找点 C，并且您位于平板 2 中包含 (x2,y2) - (x3,y4) 的节点。判断 C 是在这条线段的上方还是下方，然后在树中取那个分支。

例如，如果 C 为 (cx,cy)，则段在 x=cx 处的 y 坐标为：

testy = ((cx-x2)/(x3-x2)) * (y4-y2) + y2

如果 cy

当你到达一片叶子时，这就是包含 C 的区域。你就完成了。

现在...为每个平板制作一棵全新的树会占用大量空间，因为您可以有 N^2 个交点，因此可以有 N^2 个平板。在每个平板中存储一棵单独的树将占用 O(N^3) 空间。

但是，如果使用持久性红黑树，slab 实际上可以共享很多节点。使用像 Chris Okasaki 的红黑树这样的简单纯函数式实现，每个交叉点占用 O(log N) 空间，总共需要 O(N^2*log N) 空间。

我似乎记得还有一个 constant-space-per-change 持久性红黑树可以给你 O(N^2)，但我没有参考。

请注意，对于大多数现实生活场景，交叉点更接近 O(N)，因为线不会交叉太多，但使用持久树来节省空间仍然很好。