有效地找到给定点所在的 Delaunay 三角剖分面答案

【问题标题】：Efficiently find Delaunay Triangulation face, which a given point lies on有效地找到给定点所在的 Delaunay 三角剖分面
【发布时间】：2014-06-20 18:41:22
【问题描述】：

给定点集的 Delaunay 三角剖分，我应该如何索引我的三角剖分以进行快速点定位？

我目前正在遍历所有三角形。对于每个三角形，我正在检查给定点是否在三角形的边界矩形内。如果是，然后我使用几何方程检查三角形。

这很慢。关于如何提高搜索效率的任何想法？

【问题讨论】：

根本不清楚你在说什么，更别提你的问题是什么了。发布一些代码，不要假设我们知道您的问题的具体情况，仅基于您标题中对算法的非常笼统的引用。
@RBarryYoung 对我来说似乎很清楚：给定点集的 Delaunay 三角剖分，您如何索引您的三角剖分以进行快速点定位？
@TimothyShields 如果问题和您的评论一样清楚，我不会有问题，我怀疑它已经有了一些答案。如果您确定这是所要求的，那么我鼓励您进行编辑以使其清晰。
@TimothyShields 谢谢，我的措辞再好不过了。
四叉树还是 BSP？

标签： c# math computational-geometry delaunay

【解决方案1】：

任务完成了，我就是这样做的：

1) 检查点是否在三角形边界矩形内。

2) 将该点指定为水平线的起点，以最大宽度结束。

3) 检查 (1) 中找到的三角形与 (2) 中的线的交点。

4) 如果三角形相交，检查水平线与三角形相交的次数。

5) 如果相交 1 次，则表示三角形中的点。否则，不在三角形中。

参考：

Fast generation of points inside triangulated objects obtained by cross-sectional contours

【讨论】：

这不会在渐近意义上降低算法的效率：检查所有边界框仍然是O(N)。

【解决方案2】：

从快速实用到理论上稳健，您可以使用以下三种方法：

构造一个规则网格，其中每个单元格包含与其相交的三角形列表。给定一个查询点，在恒定时间内确定包含它的单元格，然后仅将您的查询点与该单元格列表中的那些三角形进行比较。
构造一个四叉树，其中每个叶单元包含与其相交的三角形。将查询点定位到四叉树叶需要 logtime，但这在整体速度和内存方面会更有效。
向下扫过所有三角形的水平线。点集中的点对应于事件。在每个事件中，一些三角形开始与扫描线相交，而其他三角形停止与扫描线相交。您可以使用不可变（又名持久）排序的地图数据结构来有效地表示这一点。 map<double, sweepstate>，其中键是事件中扫描线的 y 截距，sweepstate 是线段对的排序列表（对应于三角形的左侧和右侧）。给定一个查询点，您首先使用它的 y 值查找 sweepstate，然后执行单个梯形包含测试。（两条水平扫描线和它们之间的两条线段形成一个梯形。）

【讨论】：

我实际上喜欢相等单元格的第一种方法并保存相交的三角形，我一直在阅读有关使用最近邻居“遍历”三角剖分的内容，尽管我似乎无法完全理解它的方式还有效。如果没有其他发现，我可能会使用你的第一种方法:)
@Elia 我也从第一种方法开始。如果第一种方法被证明太慢，请只列出更复杂的方法。对于某些区域非常稀疏而其他区域非常密集的点集，它也可能存在困难。
如果您有兴趣，我刚刚发布了关于事情如何结束的答案。

【解决方案3】：

解决这个点定位问题的常用方法是高效的Trapezoidal Decomposition。在O(N.Log(N)) 预处理时间之后，使用O(N) 空间，它将查询时间减少到每点O(Log(N))。

也可能是您的查询点分布允许替代/更简单的方法。

【讨论】：

@Phpdna：假设您的意思是树状图。我没有看到蚂蚁连接。一种是聚类方法，另一种是高效的几何搜索数据结构。
欧几里得树状图中查询的复杂度是多少？ [梯形分解在渐近意义上是时间和空间最优的。]
呃，抱歉，这个问题不是关于最近邻搜索，而是关于三角测量中的点位置。
你能给我一个关于搜索算法描述的指针吗？
我指的是限定算法复杂度的标准方法 (en.wikipedia.org/wiki/Asymptotic_computational_complexity)。

【解决方案4】：

解决方案是一个层次树，即树状图或层次聚类。例如使用 euklidian 距离：http://en.m.wikipedia.org/wiki/Hierarchical_clustering。或者您可以使用指标树。

【讨论】：