投资组合优化：如何使用 cvxopt.solver.qp 在承受目标风险的同时最大化回报？

Question

在这里尝试优化投资组合权重分配，通过使用 cvxopt 模块限制风险来最大化我的回报函数。我的代码如下：

from cvxopt import matrix, solvers, spmatrix, sparse
from cvxopt.blas import dot
import numpy
import pandas as pd
import numpy as np
from datetime import datetime

solvers.options['show_progress'] = False
# solves the QP, where x is the allocation of the portfolio:
# minimize   x'Px + q'x
# subject to Gx <= h
#            Ax == b
#
# Input:  n       - # of assets
#         avg_ret - nx1 matrix of average returns
#         covs    - nxn matrix of return covariance
#         r_min   - the minimum expected return that you'd
#                   like to achieve
# Output: sol - cvxopt solution object

dates = pd.date_range('2000-01-01', periods=6)
industry = ['industry', 'industry', 'utility', 'utility', 'consumer']
symbols = ['A', 'B', 'C', 'D', 'E']
zipped = list(zip(industry, symbols))
index = pd.MultiIndex.from_tuples(zipped)

noa = len(symbols)

data = np.array([[10, 11, 12, 13, 14, 10],
                 [10, 11, 10, 13, 14, 9],
                 [10, 10, 12, 13, 9, 11],
                 [10, 11, 12, 13, 14, 8],
                 [10, 9, 12, 13, 14, 9]])

market_to_market_price = pd.DataFrame(data.T, index=dates, columns=index)
rets = market_to_market_price / market_to_market_price.shift(1) - 1.0
rets = rets.dropna(axis=0, how='all')

# covariance of asset returns
P    = matrix(rets.cov().values)


n = len(symbols)
q = matrix(np.zeros((n, 1)), tc='d')
G = matrix(-np.eye(n), tc='d')
h = matrix(-np.zeros((n, 1)), tc='d')
A = matrix(1.0, (1, n))
b = matrix(1.0)
sol = solvers.qp(P, q, G, h, A, b)

我应该使用蒙特卡罗模拟来获得目标风险同时最大化回报吗？解决这个问题的最佳方法是什么？谢谢。

Answer 1

这并不像人们想象的那么简单。典型的投资组合优化问题是在目标收益的情况下最小化风险，这是一个线性约束问题，具有二次目标；即，二次规划（QP）。

minimize        x^T.P.x
subject to      sum(x_i) = 1
                avg_ret^T.x >= r_min
                x >= 0 (long-only)

您在此处想要最大化受目标风险影响的回报，是一个二次约束二次规划 (QCQP)，如下所示：

maximize        avg_ret^T.x
subject to      sum(x_i) = 1
                x^T.P.x <= risk_max
                x >= 0 (long-only)

使用凸二次约束，优化发生在包含二阶锥因子的更复杂的锥上。如果要继续使用 cvxopt，则必须将 QCQP 转换为二阶锥程序 (SOCP)，因为 cvxopt 没有用于 QCQP 的显式求解器。如您在documentation 中所见，带有 cvxopt 的 SOCP 具有与典型 QP 不同的矩阵语法。这个blog post 对如何针对这个特定问题执行此操作进行了非常好的演练。

Answer 2

我认为您正在尝试计算夏普投资组合。我相信可以证明，这是一个等效于最小化风险 (w'Pw) 的问题，对回报有一个等式约束 (w'*rets = 1)。这将更容易在二次程序员 qp 下指定。