具有部分重叠时间的加权活动选择

Question

让我们假设我们有 n 个时间表。每个时间表 i 都有一个权重 w(i) 、一个准备时间 prep(i) 和一个休息时间 rest(i) 。

准备时间意味着如果我们选择时间表 i ，我们有义务不选择时间表 i - prep(i) , i - prep(i) + 1 ... i-1 。

休息时间意味着如果我们选择shdule i，我们有义务不选择shedule i+1 ,i+2 ... i+rest(i)

我们的任务是根据上述限制选择合适的时间表，以最大化W。

注意：对于 i=1 ，我们忽略 prep(i) 。我们假设我们已经准备好了。对于 i=n wh 忽略 rest(i)。

限制：一个时间表的准备时间可以与另一个时间表的休息时间重叠。举个例子，如果我们有 rest(5)=2 , prep(8)=2 ，我们可以选择两个时间表。 rest(5)=2 表示如果我们选择 5 ，我们不允许选择 6 和 7 。 Prep(8)=2 表示如果选择 8 ，则不允许选择 6 和 7 。所以我们可以选择 5 和 8。

什么算法最适合这个任务？

如果没有限制，我们可以说每个时间表都有开始时间 i - prep(i) 和结束时间 i + rest (i) 。我们将有一个加权活动选择问题，因此我们可以使用贪心算法获得最优 O(nlogn)。但是限制破坏了我的计划。

Answer 1

让f(i) 成为最佳答案，这样i-th 活动是最后一项。如果j < prep(i) 和j + rest(j) < i，我们可以从活动j 转到活动i。换句话说，f(i) = (max of f(j) among all valid j such that j < prep(i) and j + rest(j) < i) + 1。这个公式导致了一个简单的O(N^2) 解决方案。

但我们可以做得更好！让我们为最大操作保留一个持久的段树（数组中的每个位置一个版本）。最初，它用零填充。对于固定的i，我们使用prep(i) - 1 版本并在[0, i - 1] 范围内执行最大查询。那么f(i) 就是这个最大值加一的值。之后，我们将i + rest(i) 位置的树（即创建一个新版本）更新为f(i)。就是这样。

我们使用O(N) 获取最大值并将一个元素查询更新为持久段树，因此该解决方案需要O(N log N) 时间和空间，这看起来相当不错。然而，这似乎相当复杂。

现在让我们摆脱持久性。当我们到达j = i + rest(i) 后，我们可以保持一个“正常”（即非持久段树）并用f(i) 更新位置i 中的值（例如，通过保持一个元素向量在每个位置添加）。我们不再需要关心第二个限制。因此，f(i) 是[0, prep(i) - 1] 范围内的最大值加一。找到f(i)后，我们推入i + rest(i)位置的待添加向量。

它仍然使用O(N log N)时间，但空间复杂度现在是线性的，我们不再需要持久的段树（实际上，每次更新只能增加值，我们需要前缀上的最大值，所以我们可以在这里使用二叉索引树而不是段树）。