如何计算这两个函数的时间复杂度？ （递归）

Question

第一个函数：

def f1(n):
if n == 1:
   return 1
return f(f(n-1))

第二个功能：

def f2(n):
if n == 1:
    return 1
return 1 + f(f(n-1))

现在我可以看到为什么两个函数的空间复杂度都是O(n)，因为递归深度等于n。
但是关于时间复杂度，我无法像以前使用普通递归方程那样计算它，可以说我们在第一个函数中使用了f(n-1) 而不是f(f(n-1))。那么它将是T(n) = 1 + T(n-1) = 2 + T(n-2)=... = n 所以O(n)，我可以直观地理解它对于f1 可能保持不变，因为所有返回都是1 所以我可能有2n 迭代这是O(n) 但我不知道如何正式处理。
对于f2，我不知道如何达到时间复杂度，直觉在这里失败了，我非常感谢在如何分析这些递归调用方面提供任何帮助。

最终答案是：f1: Time Complexity: O(n), Space Complexity: O(n)。

f2: Time complexity: O(2^n), Space complexity: O(n).

Answer 1

我认为您意识到，在 f1 中您正在执行两个操作：

1. 致电f1(n - 1)
2. 使用第一次操作的结果再次调用f1。

您可以看到调用 f1 时使用任何...或至少任何大于零的...返回 1。

在第 2 步中，您只需使用 1 再次调用 f1，然后立即返回。 O(N)。

转到f2。让我们检查一下这个函数的行为。

• 当 n = 1 时，我们返回 1。
• 当 n = 2 时，我们返回 1 + f2(1)。我们知道f2(1) 返回 1，所以f2(2) 返回 2。
• 当 n = 3 时，我们返回 1 + f2(2)，因此为 3。
• 等

所以看起来 f2(n) 只是返回 n。

每次我们调用f2 时，我们都在做与f1 相同的事情：用n - 1 调用self，然后用那个号码再次调用self。

换句话说，我们用n - 1 调用了两次f2。对于每 n 我们将调用次数加倍，所以 O(2^N)。