Python - 如何计算这个递归函数的时间复杂度？

【问题标题】：Python - How to calculate this recursive function time complexity?Python - 如何计算这个递归函数的时间复杂度？
【发布时间】：2020-09-26 15:15:38
【问题描述】：

我想以尽可能多的方式解决塔漏斗问题，并计算每种方式的时间复杂度（仅供自我练习）。解决方案之一是这样的：

def is_hopable(arr):
    if len(arr) < 1 or arr[0] == 0:
        return False
    if arr[0] >= len(arr):
        return True
    res = False
    for i in range(1,arr[0]+1):
        res = res or is_hopable(arr[i:]) # This line  
    return res

我知道递归时间复杂度计算的一般概念，但我无法分析注释行（在 for 循环内）。通常我用T(n) = C + T(that line)计算时间复杂度，然后用一个通用表达式（例如T（n-k））来减少它，直到我达到基本情况并且可以用n表示k，但是那个for循环的时间复杂度是多少？

【问题讨论】：

标签： python time-complexity big-o

【解决方案1】：

for 循环的复杂性可能高达O(n^2)，因为循环的每次迭代（最多 n 次迭代）都会执行一个切片 arr[i:]，它返回一个没有第一个 i 元素的 arr 的副本O(n)。考虑到这一点，总时间是O(n^3)。

提到的上限很紧。
示例：arr = [n-1, n-2, n-3, ..., 1, 1]
替代形式：arr[i] = n - 1 - i 代表所有i、0 <= i < n - 1 和arr[n-1] = 1，其中n 的长度为arr。

计算元素运算量的递归（避免使用常数）可以表述为：

简化求和：

评估（展开）T 的较小项并搜索下限：

使用从1到n的平方和的formula：

由于 T(n) 下限是 3 次多项式，我们发现问题运行时间的这种实例是 Ω(n^3)，证明问题的上限 (O(n^3)) 是紧的。

旁注：
如果您使用原始数组和当前索引作为参数，for 循环的运行时间将为O(n)，总时间为O(n^2)。

【讨论】：