如何知道使用 Haskell 的牛顿法何时会失败？答案

【问题标题】：How to know when Newton's Method will fail using Haskell?如何知道使用 Haskell 的牛顿法何时会失败？
【发布时间】：2017-11-04 04:52:10
【问题描述】：

在 Haskell 中，我使用以下函数来查找多项式的根：

polyNewton :: (Fractional a, Ord a) => Poly a -> a -> a`

polyNewton p s = if (abs(polyValue p s) <= (0 + 1e-10)) then s else polyNewton 
p (s - (polyValue p s) / (polyValue (polyDeriv p) s))

其中 polyValue 是一个函数，用于查找多项式 p 的 y 值、一个 x 值 x，而 polyDeriv 是一个返回多项式 p 的导数的函数。

此代码在大多数情况下都运行良好，除非多项式没有任何实际根（函数在 x 轴上方）或给出错误的初始猜测。有没有办法预先确定牛顿法是否会失败，这样我的函数就不会无限期地运行？

【问题讨论】：

你如何确定它是否在 Haskell 以外的其他语言中失败？
我知道如果多项式有奇数次，它将穿过 x 轴。我不确定如何判断偶数多项式是否会穿过 x 轴。我可以考虑使用中值定理，但在哪个域上？
我投票结束这个问题，因为它实际上是关于数学而不是编程。您可以尝试在 math.stackexchange.com 上提问。如果您在执行答案时遇到问题，可以回到这里。
您的回答表明您实际上也没有设法处理奇怪的情况。牛顿法需要一个初始值，但是如何设置初始值呢？在奇怪的情况下，您一定会得到解决方案，但如果有很多解决方案，您要找哪一个？

标签： haskell math functional-programming polynomial-math newtons-method

【解决方案1】：

要粗略地确定 N 次多项式的根（如果有的话），知道它的所有极值就足够了，因为你必须只有一个根

在任何相邻的负最小值和正最大值之间
如果是负最小值或正最大值，则位于最左侧极值的左侧
如果是负最小值或正最大值，则位于最右侧极值的右侧

极值本身就是导数的根，它方便地是次数为 N–1 的多项式，所以你可以递归下去，直到你得到线性（或二次）的情况，它是找到根源很简单（实际上是这样）。

【讨论】：

如何利用这些信息找到合适的初始值，让牛顿法收敛到每个根？
@dfeuer 正如我所说，您从 intervals（在极值之间）开始，您知道每个根必须位于其中。然后，您在每个区间的中点启动牛顿，但受到限制，因此它永远不会离开区间。这在实践中意味着，每当 xᵢ + yᵢ / xᵢ' 位于区间之外时，您改为执行简单的二等分步骤来细化区间，直到函数在剩余区间上足够直，以至于牛顿及其二次收敛开始。