使用 BFS 找到从 s 到 t 的最昂贵路径答案

【问题标题】：Find the most expensive path from s to t using BFS使用 BFS 找到从 s 到 t 的最昂贵路径
【发布时间】：2016-09-12 19:14:22
【问题描述】：

在给定的图形G=(V,E) 中，每条边都有一个成本c(e)。我们有一个起始节点 s 和一个目标节点 t。我们如何使用以下 BFS 算法找到从 s 到 t 的边数最少的最昂贵路径？

BFS(G,s):
    foreach v in V do
        color[v] <- white; parent[v] <- nil
    color[s] <- grey; parent[s] <- s
    BFS-Visit(s)

BFS-Visit(u):
    Q <- empty queue
    Enqueue(Q,u)
    while Q != empty do
        v <- Dequeue(Q)
        foreach w in Adj[v] do
            if color[w] white then
               color[w] <- grey
               parent[w] <- v
               Enqueue(Q,w)
        color[v] <- black

【问题讨论】：

标签： algorithm graph-theory breadth-first-search

【解决方案1】：

BFS 的属性是距离源 d 的所有节点的集合被考虑在距离 d+1 的所有节点的集合之前。因此，即使节点是灰色的，您也必须更新“最昂贵的路径”：

BFS(G,s):
    foreach v in V do
        color[v] <- white; parent[v] <- nil; mesp[v] <- -inf
        # mesp[v]: most expensive shortest path from s to v
    color[s] <- grey; parent[s] <- s; mesp[s] <- 0
    BFS-Visit(s)

BFS-Visit(u):
    Q <- empty queue
    Enqueue(Q,u)
    while Q = empty do
        v <- Dequeue(Q)
        foreach w in Adj[v] do
            if color[w] != black and mesp[v] + c(v, w) > mesp[w]:
               color[w] <- grey
               mesp[w] = mesp[v] + c(v, w)
               parent[w] <- v
               Enqueue(Q,w)
        color[v] <- black

【讨论】：

+1 谢谢，我明白了。但我对以给定节点 t 结束的路径感兴趣。所以我们应该停在 t 而不是看它的邻居。如果我们找到到 t 的多条路径，我们如何选择边数最少的路径？
@zabware：当v = t，mesp[t]会给你答案。这是算法的一种不变量：当指令v <- Dequeue(Q)被执行时，mesp[v]是从s到v的最昂贵最短路径的成本（因此是这种情况v = t)。当Q 为空或到达v 时，您可以结束循环：如果您的图表已连接，则return mesp[t] 在这两种情况下都可以工作。
所以在 mesp[w] = mesp[v] + c(v, w) 之后我可以简单地做 If t = v then return mesp[w] else enqueue(q,w)?跨度>
@zabware：不，这可能是错误的，因为在 s 的相同距离内还有其他节点可以改进 mesp[w]。您必须等到到达外部while 循环中的w（例如v <- Dequeue(Q) if (v == t) return mesp[t]）。因此，您确信您考虑了到 t 的所有最短路径。
@zabware：如果您知道如何使用 BFS 计算最短路径的数量（并了解它的为什么起作用），这是一个非常相似的想法。