BFS 无法找到的最短路径？答案

【问题标题】：Shortest paths that are impossible for BFS to find?BFS 无法找到的最短路径？
【发布时间】：2015-03-05 18:36:38
【问题描述】：

我早些时候参加了一次考试，有一个问题让我和其他与我交谈过的人都感到困惑。它问了以下问题：

给出一个未加权图G和两个顶点s和f的例子，使得s之间存在最短路径 和 f 广度优先搜索（从 s 开始）将永远找到，无论它访问相邻顶点的顺序如何到特定的边缘。

对我们来说，这似乎是不可能的。我的第一个想法是，如果最短路径包含一个顶点作为它的第 n 步，可以从 s 到 m 步，其中 mn，那么 BFS 将永远找不到该路径，因为该顶点已被标记为已访问。但如果是这种情况，则所述路径根本就不是最短路径，因为通过在 m 步中到达顶点然后正常继续前进会获得更短的路径。

我们的教授提出了一个不可能的问题（可能是错字），还是我遗漏了什么？

编辑：为了消除任何可能的歧义，该问题不要求给出 BFS 未能找到从 s 到 f 的最短路径的示例。相反，它要求给出一个示例，其中存在 BFS 永远找不到的从 s 到 f 的 some 最短路径。因此，BFS 本身是完整且最优的这一事实并不能排除这种可能性，除非我误解了这些术语的含义。

编辑 2： 还可以假设我们正在使用的 BFS 算法不会两次处理同一个节点。例如，参见BFS Wiki 上的算法大纲。

【问题讨论】：

即使 BFS 不跟踪访问过的节点，它也会最终触及每条可行的路径。我想这一定是一个错字。
确实如此。深度优先搜索可能会“迷路”（尽管只有在它无法检测到周期的情况下）。 BFS 不能。 BFS 被认为是一个完整的搜索，这意味着如果存在，它可以保证总是找到一个解决方案（给定无限的时间）。
您的推理几乎是正确的 - 不止一条路径可以是最短的（如果它们具有相同的长度），因此如果首先访问另一条路径（例如菱形），您可能会错过一条路径。但是，他明确表示对于任何访问顺序都找不到它，因此这也行不通
对，@Leeor。钻石是我的第一直觉，但正如你所指出的，这种解决方案和类似的解决方案在任意访问顺序下都无法成立。
图必须是有限的

标签： algorithm search graph-theory graph-algorithm breadth-first-search

【解决方案1】：

示例

让G = (V,E) 有一个图 V = ℕ ∪ {-1, 0} 和 E = { {-1,t}, {t,0} | t ∈ ℕ }
并让s = -1 和f = 0。从s到f存在无限多长度为2的路径，但由于s有无限多的邻居，BFS永远不会到达f。

不可能有有限的例子

不存在有限图，因此 BFS 找不到从 s 到 f 的最短路径。假设G 是一个有限图，s = a₀ → a₁ → ... → an → an+1 = f 是从s 到f 的最短路径。然后存在一个 BFS 的执行顺序，如下所示：

对于从0 到n 的所有i，首先访问ai+1，然后是ai 的所有其他直接邻居。

由于G 是一个有限图，因此每个节点ai 的直接邻居也只有有限多个。所以它将完成列表并到达路径上的下一个节点。由于路径是最短的，所以它是第一个找到连接s 和f 的路径。所以不可能存在一个有限图，使得 BFS 找不到从 s 到 f 的最短路径。

路径不能短于两条边

从s 到f 的路径也不能小于2。
如果s 和f 被认为不是同一个节点，那么可以想到的最短路径的长度为1。但这意味着f 是s 的直接邻居，因此存在一个BFS，它首先访问f，然后继续访问无限数量的其他邻居。

【讨论】：

您考虑的图有无限数量的节点。有没有具有这种性质的有限图？
@AnmolSinghJaggi 我添加了一个证明不存在有限图，使得 BFS 找不到最短路径
很好的例子和证明。谢谢！
BFS 在 aleph_0+1 步后找到从 s 到 t 的路径。
aleph_0+1 不是有限的^^

【解决方案2】：

我认为@hexaflexagonal 可能错误地陈述了问题。

这应该是CLRS的问题：

问题和解决方案：

由于 BFS 的性质，有些集合 E_{\pi} 不会由 BFS 生成。具有多个最短路径解的循环图就是这种情况。

【讨论】：