在给定上下文无关语法的情况下找出生成的语言？

Question

我应该手动应用产生式规则来找出这个语法生成的语言吗？这很乏味，有什么技巧/提示可以加快速度吗？

G = {{S, B}, {a, b}, P, S}
P = {S -> aSa | aBa, B -> bB | b}

编辑：我发现 Matajon 的回答很好，即考虑非终结符号生成的每种语言，然后将它们组合起来。

但是当我必须解决一些像这样的复杂示例时，我仍然陷入困境：

G = {{S, R, T}, {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, P, S}

P = {S -> A | AS | BR | CT,
     R -> AR | BT | C | CS,
     T -> AT | B | BS | CR,
     A -> 0 | 3 | 6 | 9,
     B -> 1 | 4 | 7,
     C -> 2 | 5 | 8}

疯了，不是吗？取自过去的考试（编程语言课程）。

Answer 1

我不知道任何通用技巧，但通常考虑每个非终端生成的语言会有所帮助。

在您的示例中，从 B 生成的语言显然是 L(B) = {b}^+。然后你想想S规则，使用第一条规则，你可以生成句子形式{a^n.S.a^n | n >= 1}。如果您对这些句子形式或单独在 S 上使用第二条规则，您可以生成句子形式 {a^n.B.a^n | n >= 1}。

休息很简单，你把这两件事结合起来得到L(G) = {a^n.b^+.a^n | n >= 1}

顺便说一句，语法终结符和非终结符的定义是集合，而不是元组。第三个组成部分是生产规则，而不是开始符号。所以你应该写G = {{S, B}, {a, b}, P, S}。

编辑

实际上，有一种方法可以解决您的第二个示例，而无需考虑太多，只需遵循食谱之类的内容即可。因为，您的第二种上下文无关语法生成的语言实际上是有规律的。

当您将 A、B 和 C 的规则替换为前三个规则时，您会得到

P' = {S -> 0 | 3 | 6 | 9 | 0S | 3S | 6S | 9S | 1R | 4R | 7R | 2T | 5T | 8T
     R -> 0R | 3R | 6R | 9R | 1T | 4T | 7T | 2 | 5 | 8 | 2S | 5S | 8S
     T -> 0T | 3T | 6T | 9T | 1 | 4 | 7 | 1S | 4S | 7S | 2R | 5R | 8R}

而P' 是常规语法。因此，您可以将其转换为非确定性有限自动机（有非常简单的方法，寻找它），然后将生成的 NFA 转换为正则表达式（这不是那么简单，但是如果您遵循算法并且不要迷路，你应该没问题）。而且从正则表达式中很容易看出它描述的是什么语言。

此外，一旦您拥有该语言的 NFA，您就可以查看它并确定它在逻辑上的作用（它与单词中的 1,4,7 和 2,5,8 的计数以及它们之间的差异 mod 3 有关。想一想，毕竟这是你的功课:-)）

当然，如果你不使用上下文无关语法生成常规语言，你就不能使用这个技巧。没有通用的方法来判断语法生成的语言（CFG 的语言相等问题是不可判定的），您必须考虑每个示例并在其逻辑结构中寻找相似之处和模式。

Answer 2

我认为您只需要应用生产规则即可。