从给定语言构建上下文无关语法

Question

我在为给定语言构建 CFG 方面需要帮助。

L = { x ∈ {a, b}* | x != x reversed }，换句话说，L 是L 中所有回文的补集。

我更感兴趣的是如何解决这类问题，而不是具体的解决方案。

Answer 1

嗯，我还没有想出解决此类问题的通用模式，但我想我知道如何解决这个问题：

首先考虑回文语言 L 的 CFG G(L)（让我们考虑二进制字母）：

S -> ""
S -> "0" S "0"
S -> "1" S "1"
S -> "1" // odd length case
S -> "0" // odd length case

构造G(L)的想法是确保最后一个符号等于S中的第一个符号，因此，对于每个位置i，从开头的ith符号等于ith该语法产生的单词的末尾符号。

对于不是回文的单词w，我们希望确保存在i这样的位置，即从开头的ith符号不等于i从末尾开始的第一个符号。所以，只有在产生的开头和结尾放置了不同的字母后，我们才终止单词产生：

S -> "0" S "0"
S -> "1" S "1"
S -> "0" T "1"
S -> "1" T "0"
T -> ""
T -> "0" T "0"
T -> "1" T "1"
T -> "0" T "1" // we are allowed to put different symbols more than once
T -> "1" T "0" // we are allowed to put different symbols more than once
T -> "0"
T -> "1"

你可以给S 表示状态«我们还没有放不同的字母» 的意思，给T 表示«我们放了不同的字母» 的意思。注意我已经删除了这个 CFG 中的S -> "" 规则，所以我们只会从T 结束，所以我们在生成单词时肯定会输入不同的字母。