求解具有几个变量的方程以获得最大值答案

【问题标题】：Solving an equation with a few variables for a maximum value求解具有几个变量的方程以获得最大值
【发布时间】：2019-11-30 15:45:41
【问题描述】：

我正在玩一款名为 Screeps 的游戏，您可以在其中使用 javascript 编写一个殖民地。游戏的核心是被称为小兵的可编写脚本的小单位，可以从不同的部分动态构建以赋予它们不同的属性。

我编写了一个方程系统，通过查看其部件组成来确定小兵在完成给定工作方面的效率。

例如，升级殖民地中心的工作的简化方程式是：

e = 10yx / ((x + y) * (15x + 2y))

x 是蠕变上 CARRY 部件的数量。

y 是蠕变上 WORK 部件的数量。

e 是工作分配的总有效性

这些公式对于确定哪些小兵应该分配哪些工作非常有用。但是，我想知道是否有办法为每个方程求解 e 的最大值？这将为我提供最有效的零件比例，从而为高需求的工作构建蠕变。

如果这是可能的，因为我正在考虑用另一个变量来扩展方程，比如 z 表示 MOVE 零件的数量，这仍然可能吗？

编辑：对上述等式进行反复试验

f(1, 1); // returns 0.294
f(1, 2); // returns 0.350
f(1, 3); // returns 0.357 --- Highest value, therefore best ratio
f(1, 4); // returns 0.347
f(1, 5); // returns 0.333

不使用试错法可以解决这个问题吗？如果方程有 3 个输入而不是 2 个，类似的方法会起作用吗？

【问题讨论】：

什么是z？它在数学中没有显示z。
最大化e 只是将x 和y 设置为可能的最高值，即Infitinity。在你的情况下，我怀疑它是否真的要你的意思。您能否进一步描述“最大化e”的含义？是否使用指定的积分分配，例如Maximize(e) given that x+y<=n？
对不起，当我第一次写 z 时，我的意思是 e。现已编辑完毕。
好的，我再试一次。我的问题是你如何确定 x:y 之间的比率，当输入到方程中时，它将导致 e 的最大可能值。比率很重要，因为 f(1,1) 和 f(2, 2) 将返回相同的数字。这是因为 e，工作分配的总有效性以每滴答 ⋅ 部分单位的输出来衡量。目前，我一直在使用 x 和 y 的不同比率的试错法，并选择返回 e 的最大值的那个。但一定有更好的办法。
请为f 编写显式函数。现在看起来你想要10yx / (x + y) * (15x + 2y) 的最大值，其中x=1。不存在最大值。您可能需要额外的要求，例如 x 和 y 为正且总和为 1。

标签： math max equation screeps

【解决方案1】：

要找到最大值，我们可以先计算微分，然后看看它在哪里为零。

等式的最大值为x = (sqrt(30) - 2)/13 或x=0.26748, y=0.73252。

这是一些计算它的 Python 代码：

from sympy import evalf, solve
from sympy.abc import x, y

f = 10*y*x / ((x + y) * (15*x + 2*y))
f = f.subs(y, 1-x)  # we know x + y == 1
df = f.diff(x)
sol = solve([df], x)
print(f'solutions found: {sol}')
for s in sol:
    x0 = s[0].evalf()
    if x0 >= 0 and x0 <= 1:
        print(f'extremum at f({x0, 1-x0}) = {f.subs(x, x0).evalf()}')

输出：

solutions found: [(-2/13 + sqrt(30)/13,), (-sqrt(30)/13 - 2/13,)]
extremum at f((0.267478890388589, 0.732521109611411)) = 0.357724784017555

【讨论】：

【解决方案2】：

从数学上讲，e 的最大值出现在DIF(e,x)=0 和DIF(e,y)=0 时，其中DIF() 是导数。这仅发生在

2*y^2 = 15*x^2

或

y = sqrt(30)/2*x

在e的表达式中使用上述内容

e = (170 - 20*sqrt(30))/169 = 0.3577247

【讨论】：

谢谢！要回答您之前的问题， z 不是 e - 这是一个错误。我用 f 来指代生成 e 的函数。很抱歉不清楚。 z 是后续问题的一部分，您有一个类似的方程，其中包含三个自变量（x、y 和 z）而不是两个，您再次求解 e 的最大值。然而，在我的例子中，引入 z 将上限函数添加到方程中，这使问题复杂化。由于这个问题足够不同，而且我把这个线程搞得一团糟，我认为最好只是把这个问题作为一个新问题来问。