如何以最快的方式求解具有 4 个或 7 个变量的多项式

Question

给定方程：

K = Ap + Bq + Cr + Ds.

我试过的解决方案：

我们已经知道的术语：A、B、C、D、K

在给定 p, q, r 的情况下找到术语 s；

p=0, q=0, r=1;
compute() => s = (K - Ap - Bq - Cr)/D;

继续直到 s 变为 对于所有项 p=0, q=0, r=1...n;

同样地继续，直到 s 变为 对于 p=0, q=1..n, r=1...n 的所有项；

和，

最后，继续直到 s 变为 对于 p=1..n、q=1..n 和 r=1..n 的所有项； em>

为更新 p、q 和 r 编写了 3 个循环。

如果 K 变大，例如 1000...、8145、45000 等，计算需要更多时间；

请不要推荐外部库...我正在寻找编码解决方案。

示例片段

for (int i = 0; i < preSpecifiedIterations; i++)
{
 p = i;

 if (A * p > K)  //Exit condition ; if Ap > K
  break;

  for (int j = 0; j < preSpecifiedIterations; j++)
  {
   q = j;

   if (B * q > K) //Exit condition ; if Bq > K
    break;

   for (int k = 1; k < preSpecifiedIterations; k++)
   {
    r = k;
    // compute s given p, q, and r;
    s = (K - (A * p) - (B * q) - (C * r)) / D;

    if (s < 0) //Exit condition ; don't process if s < 0 i.e negative values
     break;
    else
     ...
   }
  }
}

另外，如果有人注意到：preSpecifiedIterations -> 是否可以在计算之前确定需要多少次迭代？

还有没有更好的算法来解决上述问题？

非常感谢您的阅读。

Answer 1

这对 StackOverflow 来说不是一个很好的问题；对于数学站点之一来说更好。不过我还是在这里回答吧。

您当然可以比蛮力做得更好，就像您在这里所做的那样。您应该能够在几微秒内计算出答案。

存在一个解当且仅当 (A, B, C, D) 的 最大公约数 均分 K。这是Bézout 身份的扩展形式。

为了确定 (1) gcd 是什么以及 (2) p、q、r、s 的值是什么，您可以使用扩展欧几里得算法，您可以阅读该算法这里：

http://en.wikipedia.org/wiki/Extended_Euclidean_algorithm

我的建议是首先编写一个程序来求解ax + by = c 形式的简单线性丢番图方程。完成此操作后，请阅读 Wikipedia 文章中名为“超过两个数字的情况”的部分，该部分描述了如何扩展算法以处理您的情况。