求解仅给定几个变量的简单方程组

Question

我有一组几百个简单的求和方程。例如这里有 3 个：

 w1 - u1 - u2 = 0 
 w1 + w2 - w3 - u3 = 0
 w1 - w2 - w4 = 0

我正试图找到一种方法来解决尽可能多的问题，只要给出几个值。例如，在上面的方程组中，如果我有u1 和u2，我可以计算w1，但没有别的。 给定u1、u2 和w2，我可以计算出w1 和w4。等等……

目前我正在以一种相当直接的方式处理这个问题（伪代码）：

while there are new results:
     for each equation:
         try to solve equation:
             if solved update result set

这可行，但感觉笨重且效率低下。

有没有更好的方法？ （如果相关，使用 Python）

编辑：我知道这可以通过一系列线性方程来解决，如果我对这些值足够了解的话。我正在寻找一种方法，当我对作为线性方程组的求解不够了解时使用（或者可能有一种奇特的方法来以某种方式减少问题）

EDIT 2：错误，已删除

EDIT 3：对于任何对我使用 sympy 的解决方案感兴趣的人：

from sympy import linsolve, symbols, linear_eq_to_matrix
w1, w2, w3, w4, u1, u2, u3 = symbols("w1, w2, w3, w4, u1, u2, u3", integer=True)
variables = [w1, w2, w3, w4, u1, u2, u3]

def my_solver(known_vals):

    eqns = [w1 - u1 - u2, 
            w1 + w2 - w3 - u3,
            w1 - w2 - w4]

    #add the known variables to equation list
    for x in known_vals.keys():
        eqns.append(x - (known_vals[x]))

    A, b = linear_eq_to_matrix(eqns, variables)
    solution = linsolve((A, b), variables)

    return solution


my_solver({w1:2, u2:-2})

Answer 1

只需获取 SymPy 并将整个线性方程组填充到 sympy.solvers.solveset.linsolve 中。它将以取决于系统是否具有 0、1 或无限解的形式为您提供整个解空间，包括具有确定值的变量的值。

可能还有一种 NumPy/SciPy 方法可以获取未确定系统的解决方案集，但无论是哪种方法，我都不知道。谷歌建议singular value decomposition 会很有用，但我还没有弄清楚你如何获得解决方案的基础。

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如果不清楚，“整个线性方程组”包括将已知变量值公式化为方程。例如，如果您知道u2 = 5，那么u2 = 5 将是线性方程之一。您可以在 eqns 列表中将其表示为 u2 - 5。

Answer 2

您的原始描述很清楚，示例完整。

通用解决方案需要的是数据流图和一些图遍历算法。然而，只有 200 个方程需要解决，你的蛮力方法就足够有效了。但是，为了长期使用，我会按照我们在编译器构造中的方式进行设置：

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数据对象

方程有一个变量和系数 (LHS) 和常数 (RHS) 的列表。此外，请计算仍有多少变量尚未解决。这些变量是对...的引用

变量包括方程引用（用途）列表和一个值（如果尚未求解，则为无）。

Open equation list是未解方程的列表。

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算法

初始化 按未知数对方程式列表进行排序——至少可以识别出只剩下 1 个未知数的那些。

迭代

while there are equations with only 1 unknown:
    for each such equation:
        solve that equation for the remaining variable
        for each equation in the variable's reference list:
            update that equation

请注意，“更新该方程式”可能涉及多个步骤。最值得注意的是，确保更新未知数；如果现在是 1，则将其移入队列以解决。

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之后

如果你幸运的话，你会解出所有的方程......或者你至少会有和未知数一样多的方程，所以你可以使用你最喜欢的数学包的线性求解工具来完成这项工作.

Answer 3

你可以使用一些线性代数方法来解决这个问题。

假设第 4 个方程是

w1 + w2 + w3 + w4 = 2

那么你可以把矩阵写成：

In [28]: martix = np.array([[ 1,  0,  0,  0],
...:        [ 1,  1, -1,  0],
...:        [ 1, -1,  0, -1],
...:        [ 1,  1,  1,  1]])

假设 u1 = 10 ,u2 = -5, u3 = 6, u4 = 2 并将它们向右移动：

In [34]: ans = np.array([u1+u2, u3, 0, u4])

然后使用numpy解决：

In [35]: np.linalg.solve(martix,ans)
Out[35]: array([  5.,  -7.,  -8.,  12.])

你得到 w1=5 w2=-7 w3=-8 和 w4=12