在恒定空间和 O(n) 时间中查找重复条目的算法答案

【问题标题】：Algorithm to find a duplicate entry in constant space and O(n) time在恒定空间和 O(n) 时间中查找重复条目的算法
【发布时间】：2012-01-05 19:26:31
【问题描述】：

给定一个包含 N 个整数的数组，使得只有一个整数重复。在 O(n) 时间和常数空间中找到重复的整数。整数的值或N的值没有范围

例如，给定一个由 6 个整数组成的数组，即 23 45 67 87 23 47。答案是 23 （我希望这涵盖了模棱两可和模糊的部分）

我在网上搜索，但找不到任何整数范围不固定的问题。 here 也是一个例子，它回答了一个与我类似的问题，但在这里他创建了一个 C++ 中具有最高整数值的哈希表。但是 cpp 不允许这样创建一个具有 2^64 元素的数组（在 64-位计算机）。

很抱歉在数组不可变之前没有提到它

【问题讨论】：

好问题。但是，您对答案的想法或尝试都不见了。
找到了！我可以保留它吗？
@Constantinius：你是说这是一个简单的问题吗？我自己没有看到解决方案，我认为不存在。
"。但是 cpp 不允许这样创建具有 2^64 元素的数组（在 64 位计算机上）。" 你是什么意思？跨度>
Finding repeating signed integers with O(n) in time and O(1) in space的可能重复

标签： c++ algorithm

【解决方案1】：

Jun Tarui 有shown，任何使用 O(log n) 空间的重复查找器都需要至少 Ω(log n / log log n) 通过，这超过了线性时间。 IE。即使您允许对数空间，您的问题也可能无法解决。

Gopalan 和 Radhakrishnan 提出了一个有趣的 algorithm，它可以在输入和 O((log n)^3) 空间中一次性找到重复项，这听起来是您最好的先验选择。

Radix sort 的时间复杂度为 O(kn)，其中 k > log_2 n 通常被视为一个常数，尽管它很大。显然，您无法在常量空间中实现基数排序，但您也许可以重用输入数据的空间。

如果您假设有关数字本身的特征，则存在数字技巧。如果几乎所有介于 1 和 n 之间的数字都存在，那么只需将它们相加并减去 n(n+1)/2。如果所有数字都是素数，则可以通过忽略除法的运行时间来作弊。

顺便说一句，比较排序有一个众所周知的 Ω(log_2(n!)) 下限，这表明 google 可能会帮助您找到简单问题（例如查找重复项）的下限。

【讨论】：

比较排序的下限是 Ω(n log n)。请参阅Introduction to Algorithms 中的第 8 章以获得证明。
是的，这是斯特林的近似值。
@JeffBurdges 数组是不可变的
@Jeff：是的，你是对的。我只是不习惯看到写成 Ω(log_2(n!))。太多火鸡，太晚了:-)
@Anubhav Agarwal 很好，无论如何在 O(kn) 中声明 k 常数是作弊，但 Tarui 证明不存在解决方案，所以唯一的问题是：如何作弊？面试官问这个问题时，他们说的可能是线性空间，除非你面试的是复杂性理论教授。

【解决方案2】：

如果数组没有排序，只能在O(nlogn)进行。

一些方法可以在here找到。

【讨论】：

给出的链接并没有告诉你在恒定空间中进行操作。不能使用 2^64 数字的散列，因为 c++ 不允许这样的内存空间
@AnubhavAgarwal：C++ 肯定允许 2^64 个元素的哈希表；语言中没有什么可以禁止的。
@larsmans 谢谢你告诉我。但我仍然想要一个不使用这种方法的答案
@larsmans Exabyte DIMM 仍然相当昂贵。 ;) 见：superuser.com/q/168121/97386

【解决方案3】：

如果整数的范围是有界的，您可以在 O(n) 时间内执行counting sort 变体。空间复杂度为 O(k)，其中 k 是整数 (*) 的上限，但这是一个常数，因此为 O(1)。

如果整数的范围是无限的，那么我认为没有办法做到这一点，但我不是复杂性难题的专家。

(*) 这是 O(k)，因为每个整数的出现次数也有一个恒定的上限，即 2。

【讨论】：

计数排序只是位向量的一般情况。
@HotLicks：是的，位向量是您实现此功能的方式。我懒得拼出算法。

【解决方案4】：

如果条目受数组长度限制，则可以查看Find any one of multiple possible repeated integers in a list 和O(N) time and O(1) space solution。

您提到的概括在此后续问题中进行了讨论：Algorithm to find a repeated number in a list that may contain any number of repeats 和 O(n log^2 n) time and O(1) space solution。

【讨论】：

【解决方案5】：

在时间上最接近 O(N) 的方法可能是传统的哈希表，其中哈希条目只是用作键的数字。在首先检查它是否已经在表中之后，您将遍历列表，将每个条目插入哈希表中。

然而，并不是严格意义上的 O(N)，因为散列搜索/插入会随着表的填满而变慢。而且在存储方面，大型列表的成本会很高——至少是数字数组大小的 3 倍，可能是 10-20 倍。

【讨论】：

你的答案没有固定空间
是的。没有绝对符合规范的实用算法。

【解决方案6】：

正如其他人已经提到的那样，我看不出有任何方法可以在 O(n) 中做到这一点。

但是，您可以使用Bloom Filter 尝试概率方法。如果幸运的话，它会给你 O(n)。

【讨论】：

非常有趣的数据结构。

【解决方案7】：

由于不允许额外的空间，所以没有比较就不能做到。这里可以应用comparison sort的时间复杂度下限的概念来证明原始形式的问题无法解决O(n) 在最坏的情况下。

【讨论】：

【解决方案8】：

这里我们也可以在线性时间 o(n) 内完成

public class DuplicateInOnePass {

    public static  void duplicate()

   {
        int [] ar={6,7,8,8,7,9,9,10};
        Arrays.sort(ar);
        for (int i =0 ; i <ar.length-1; i++)
        {


            if (ar[i]==ar[i+1])
                System.out.println("Uniqie Elements are" +ar[i]);

        }  

    }

    public static void main(String[] args) {
        duplicate();
    }
}

【讨论】：