简单的“数组中的最大值”和复杂度计算

Question

我对这些东西很陌生，我需要你的帮助。

我应该构建一个高效的简单算法，它返回一个大小为 n 的数组中的最大值，该数组包含重复的数字 1,2,...n。

然后我要确定最佳运行时间、平均运行时间和最差运行时间。

所以我有两个问题：

1. 首先，我试图理解为这个简单的算法需要一个有效解决方案的想法是什么。据我了解，我应该只有一个从 1 到 n 的简单循环并寻找最大值。 “高效”算法是否指出如果我在数组中找到值 n，我可以停止搜索更多值，因为这是数组中的最大值？

2. 如何确定最佳运行时间和平均运行时间，同时计算平均运行时间，这是一个均匀分布。 也就是说，数组中的每个单元格都有 1/n 的机会成为最大值。

提前非常感谢！

Answer 1

最好的情况 - 找到最大元素作为第一个 (O(1))，最坏的情况 - 它是检查的最后一个元素 (O(n))。

棘手的部分是平均情况。
要找到平均情况 - 我们需要 expected 的迭代次数！

既然找到最大值就可以停下来，我们可以把问题分成两部分：

1. [0,n-1)：因为平均而言（假设每个元素均匀独立分布） - 数字n 在每个位置的概率为 1/n，那么这部分的预期迭代次数为 1/n + 2*((n-1)/n)/n + 3 * ((n-1)/n)^2/n + ... + (n-1) * ((n-1)/n)^(n-2)/n ¹
   The above formula yields an ugly formula which is O(n)
2. 如果前n-1个元素不包含值n，则将检查最后一个元素：因此您需要添加到上面的n* ((n-1)/n)^(n-1)，也就是O(n)（限制到无穷大是1/e * n)。

这总计在O(n) 平均时间解决方案中。

---

(1)：每个元素的公式是j*((n-1)/n)^(j-1) * (1/n)，因为：

• j - 检查元素的数量（迭代次数）
• ((n-1)/n)^(j-1) - 前面的元素中没有 n 的概率
• (1/n) - 这个数字的概率是n。

Answer 2

如果没有关于数组的先验信息（例如它已排序），则没有最坏情况或最佳情况，您必须扫描所有元素以找出最大值，并且需要 O(n) 次.

此外，知道每个单元格获得最大值的概率分布通常是没有用的（除非它减少了您的搜索空间。例如，如果您知道只有恒定数量的单元格获得最大值的概率非零，那么你只需要搜索这些单元格并且它需要恒定的时间）。因此，总的来说

最佳情况运行时间 = 最坏情况运行时间 = 平均运行时间 = O(n)

Answer 3

算法是这样工作的，首先你选择一个数字（在这种情况下，我选择数组的第一个数字并假装它是最大值，然后我将它与下一个数字进行比较，如果它更大，我将其视为新的最大值，直到我在数组中完成搜索），下一个代码在 C 中：

#include <stdio.h>
#define SIZE 100

typedef struct{
    int val;
    int loc;
} find;

/* Functions declaration (Prototype) */
find maxFinder( int * const a );

int main( void )
{
    int response[ SIZE ]=
       { 1, 3, 5, 7,  8, 9, 0, 10, 65, 100,
         1, 3, 5, 7,  8, 9, 0, 10, 65, 100,
         1, 3, 5, 7,  8, 9, 0, 10, 65, 100,
         1, 3, 5, 7,  8, 9, 0, 10, 65, 100,
         1, 3, 5, 7,  8, 9, 0, 10, 65, 100,
         1, 3, 5, 7,  8, 9, 0, 10, 65, 100,
         1, 3, 5, 7,  8, 9, 0, 10, 65, 100,
         1, 3, 5, 7,  8, 9, 0, 10, 65, 100,
         1, 3, 5, 7,  8, 9, 0, 10, 65, 100,
         1, 3, 5, 7,  8, 9, 0, 10, 65, 100 };

    printf( "The max number is %d located in the index %d.\n", maxFinder( response ).val, maxFinder( response ).loc );
    return 0;
}

 find maxFinder( int * const a )
 {
    /* Local Variables initialization & declaration */
    int i;
    find result;

    result.loc = 0;
    result.val = *( a + 0 );

    for( i = 1; i < SIZE; i++ ){
        if ( result.val < *( a + i ) ){
            result.loc = i;
            result.val = *( a + i );
        }
    }
    return result;
 }

Answer 4

最坏和最好的情况都很简单。平均情况更有趣。查看Geometric Distribution 的维基百科页面。