为什么无符号 n 位整数的最大值是 2ⁿ-1 而不是 2ⁿ？答案

【问题标题】：Why is the maximum value of an unsigned n-bit integer 2ⁿ-1 and not 2ⁿ?为什么无符号 n 位整数的最大值是 2ⁿ-1 而不是 2ⁿ？
【发布时间】：2011-08-11 21:46:00
【问题描述】：

n-bit 整数的最大值为 2ⁿ-1。为什么我们有“负1”？为什么最大值不只是 2ⁿ？

【问题讨论】：

What is “2's Complement”?的可能重复

标签： integer programming-languages numeric-limits

【解决方案1】：

在大多数编程语言中整数是有符号值（参见two's complement）。

例如，在 Java 和 .NET 中，整数的最左字节保留用于符号：

0 => 正数或零数
1 => 负数

那么32-bit数字的最大值被限制为2³¹。再加上-1，我们得到 2³¹ - 1。

为什么会出现-1？

看看更简单的无符号字节（8位）示例：

  1  1  1  1  1  1  1  1
128 64 32 16  8  4  2  1  <-- the most right bit cannot represent 2
--- --------------------
128 + 127 = 255

正如其他人指出的那样，最右边的位可以有 1 的最大值，而不是 2，因为 0/1 值。

Int32.MaxValue = 2147483647 (.NET)

【讨论】：

【解决方案2】：

为什么我们有“负 1”？

只要回答这个问题：1 位整数的最大值是多少？

一位整数只能存储两个（2¹）个值：0和1。最后一个值为 1₂ = 1₁₀

两位整数只能存储四个（2²）个值：00、01、10和@ 987654326@。最后一个值为 11₂ = 3₁₀

因此，当整数可以存储N时，最后一个值将是N-1，因为计数是从零开始的。

n 位整数可以存储2ⁿ 值。最后是2ⁿ-1

示例：一个字节可以存储2⁸ (256) 个值。第一个是0，最后一个是255

为什么最大值不只是 2n？

因为计数是从零开始的。查看任何n 位整数的第一个值。
例如字节：00000000

如果：
00000001 表示 2
00000000 表示 1，这将非常令人困惑

不会？ ;-)

【讨论】：

【解决方案3】：

因为0也表示。你可以表示的数字数量确实是2^n，n位，但是最大的数字是2^n-1，因为你必须从0开始计数，即每个位都设置为0。

对于 1 位：0、1
对于 2 位：0、1、2、3
对于 3 位：0、1、2、3、4、5、6、7

等等。

【讨论】：

【解决方案4】：

如果我问你可以放入一个 2 位数字的最大值是多少，你会说是 10² (100) 还是 10²-1 （99）？显然是后者。因此，如果我问你最大的n-digit 数字是多少，它会是 10ⁿ-1。但是为什么会有“-1”呢？很简单，因为我们可以将 0 在 2 位数字中也表示为 00（但每个人都只写 0）。

让我们将10 替换为任意基数b。因此，对于给定的基数 b，您可以表示的最大 n-digit 数字是 bⁿ-1。使用 32 位 (n = 32) base-2 (b = 2) 数字，我们看到我们可以表示的最大值为 2³²-1。

另一种思考方式是使用较小的数字。假设我们有一个 1 位数字。你能告诉我它可以代表的最大值是 2¹ 还是 2¹-1？

【讨论】：

【解决方案5】：

这是因为在计算中，数字从0 开始。因此，例如，如果您有 32 个地址行（2³² 个可寻址字节），它们将在[0, 2^32) 范围内。

【讨论】：

【解决方案6】：

在大多数编程语言中，0 也是一个数字。

【讨论】：

取决于你说的是整数还是自然数；）
@Russel 好吧，即使对于自然数 0 也经常被包括在内，所以甚至数学家都没有同意这一点（但实际上它只是那里更有用的数字之一 - 如果我们应该摆脱27或其他：p）
@RussellTroywest Peano 和 Frege 告诉我们什么是自然数，当然它们是从 0 开始的。尽管如此，在某些情况下使用和引用集合 N \ {0} 是可以理解的作为“自然数”。

【解决方案7】：

从 0 到 N 的数字不是 N。它们是 N+1。这对大多数人来说并不明显，因此许多程序都有错误，因为如果这个原因。

【讨论】：

【解决方案8】：

2^32 二进制：

1 00000000 00000000 00000000 00000000

2^32 - 1 二进制：

11111111 11111111 11111111 11111111

如您所见，2^32 采用33 位，而2^32 - 1 是32 位整数的最大值。

这里看似“off-by-one”错误的原因是最低位表示一，而不是二。所以 first 位实际上是 2^0，second 位是 2^1，等等...

【讨论】：

如果我有 64 位机器和操作系统和 Java 怎么办？它是否增加到 2 ^ 64 - 1 ??

【解决方案9】：

-1 是因为整数从 0 开始，但我们的计数从 1 开始。

因此，2^32-1 是 32 位无符号整数（32 个二进制数字）的最大值。 2^32 是可能值的数量。

为了简化原因，请查看小数。 10^2-1 是 2 位十进制数 (99) 的最大值。因为我们直观的人工计数从 1 开始，但整数是从 0 开始的，所以10^2 是值的数量 (100)。

【讨论】：

如果我有 64 位机器和操作系统和 Java 怎么办？它是否增加到 2 ^ 64 - 1 ??
平台是什么并不重要。您可以存储在从 0 开始的 N 位无符号整数中的最大值始终为 2^N-1。
@tenfour 因此对于有符号整数，它将是 2^N-2。我这样说对吗？
有符号整数的最大值取决于整数的存储方式。很多时候，正面是 2^(n-1)-1，反面是 -2^(n-1)，但您应该查阅您的语言/系统的文档。
一般来说：基数和位数无关紧要。您可以在基于 B 的 N 位无符号整数中存储的最大值始终为 B^N-1

【解决方案10】：

在计算领域，我们从 0 开始计数。

【讨论】：

【解决方案11】：

如果您刚开始编程，我建议您查看signed number representations 上的这篇 wiki 文章

正如 Vicente 所说，您减去 1 的原因是因为 0 也是一个包含的数字。举个简单的例子，用 3 位可以表示以下非负整数

除此之外的任何内容都需要 3 位以上的数字。因此，您可以表示的最大数字是 2^3-1=7。因此，您可以将其扩展到任何n，并表示您可以表示[0,2^n -1] 范围内的整数。现在你可以去阅读那篇文章并了解不同的形式，以及表示负整数等。

【讨论】：

【解决方案12】：

二进制中的

2³² 是一个后跟 32 个零，总共 33 位。这不适合 32 位 int 值。

【讨论】：

如果我有 64 位机器和操作系统和 Java 怎么办？它是否增加到 2 ^ 64 - 1 ??
@HardikThaker - 是的，确实如此。（实际上，在 Java 中，Integer.MAX_VALUE--对于 32 位整数--是 2^31 - 1 和 Long.MAX_VALUE--对于 64 位整数--是 2^63 - 1，因为符号位是保留的。）
@Ted Hopp 什么符号位？没有符号位这样的东西。
@Ingo - “没有符号位这样的东西” 嗯？在我知道的大多数语言中，确实有一个符号位。 Java（这是我在评论中特别谈到的）对大多数整数类型（char 除外）使用有符号的二进制补码表示。请参阅the Wikipedia article on Two's complement，您可以阅读有关符号位的所有信息。另请参阅the Wikipedia article on Sign bit。
@TedHopp 用语言签名？不见得。您可以将最左边的位称为符号位，因为选择了表示，因此如果您使用有符号整数，则该位表示负号。您也可以将最右边的位称为 odd bit，因为它表示奇数值。但他们都不是“保留”的。事实上，即使在 Java 中，您也可以使用符号位进行（一些）无符号计算。例如 (2* 0x40000001 - 3) 应该给你 MAXINT。请注意，乘法产生 0x80000002，并使用符号位。