C++ 标准是否要求无符号整数的最大值为 2^N-1 形式？答案

【问题标题】：Does the C++ standard require the maximum of unsigned integer numbers to be of the form 2^N-1?C++ 标准是否要求无符号整数的最大值为 2^N-1 形式？
【发布时间】：2016-04-23 20:47:16
【问题描述】：

对于T 使得std::is_integral<T>::value && std::is_unsigned<T>::value 是true，C++ 标准是否保证：

std::numeric_limits<T>::max() == 2^(std::numeric_limits<T>::digits)-1

在数学意义上？我正在寻找基于标准引用的证明。

【问题讨论】：

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标签： c++ c++11 standards language-lawyer unsigned

【解决方案1】：

C++ 通过引用 C 标准来指定整数类型的范围。 C 标准说：

对于unsigned char以外的无符号整数类型，对象表示的位应分为两组：值位和填充位（后者不需要任何一个）。如果有 N 个值位，则每个位应代表 1 和 2^N − 1 之间的 2 的不同幂，以便该对象类型应能够使用纯二进制表示表示从 0 到 2^N − 1 的值；这应称为值表示。未指定任何填充位的值。

此外，C++ 要求：

无符号整数应遵循算术模 2 定律ⁿ 其中 n 是该特定大小的值表示中的位数整数。

综上所述，我们发现无符号整数类型有 n 个值位，表示范围 [0, 2^{n sup>) 并遵守算术模 2ⁿ 的定律。}

【讨论】：

那么为什么他们一次说“对象表示中的值位”，另一次说“值表示中的位”？
@MarcvanLeeuwen：这两种语言标准发展出的措辞风格略有不同，但本质上是相同的想法。第一个引用来自 C11，第二个来自 C++ WD。span>

【解决方案2】：

我相信[basic.fundamental]/4 (N3337) 暗示了这一点：

声明为unsigned 的无符号整数应遵守算术模2^n 的定律，其中n 是数字该特定整数大小的值表示中的位数。

【讨论】：

确实是直接从MAX = -1 = 2^n - 1模2^n。
如果 MAX 小于 2^n-1，则引用部分暗示 MAX+1 不为零，因此 MAX 不是最大值 - 这将是矛盾的。
严格来说“遵守算术模数定律2^n”描述的是算术运算符和类型的相等关系，而不是可以采用的值集。在数学上，模算术中使用的值是整数的同余类，并且可以使用类中任何完整的代表值集来实现。虽然我知道它不会（并且更喜欢调用未定义的行为），但标准可以选择规定 signed int 也遵守算术模 2^n 的定律（然后只有 @987654330 @etc 会区分 int 和 unsigned)。