如果你有另一个因子和溢出的产品，你如何计算一个因子？答案

【问题标题】：How can you calculate a factor if you have the other factor and the product with overflows?如果你有另一个因子和溢出的产品，你如何计算一个因子？
【发布时间】：2016-07-31 23:49:58
【问题描述】：

a * x = b

我有一个看似相当复杂的乘法/imul 问题：如果我有 a 和我有 b，如果它们都是 32 位双字，我如何计算 x（例如 0-1 = FFFFFFFF，FFFFFFFF+1 = 0 )? 例如：

0xcb9102df * x = 0x4d243a5d

在这种情况下，x 是 0x1908c643。我发现了一个类似的问题，但前提不同，我希望有一个比给出的更简单的解决方案。

【问题讨论】：

分成大小，做4次乘法和加法。 (L1+S1)*(L2+S2)
这可能并不总是有一个唯一的解决方案，我不确定。我的第一个想法是找到multiplicative inverse，这是编译器将除法转换为乘法的方式，这对于像 32 位整数这样的模块化类型是可能的。 gcc just generates code that return 0 or 1 用于除以 0xcb9102df，当然。（除以小整数时存在乘法逆元，例如我在那个godbolt链接中包含的 div13 函数）。
我有这个等式（十进制）4*x=?2, ?是溢出的数字。我可以恢复 x 吗？

标签： c++ c x86 dword

【解决方案1】：

如果它们是奇数，则数字具有模乘逆模，恰好是 2 的幂。其他一切都是位移奇数（即使是零，可能是任何东西，所有位都移出）。所以有几种情况：

给定a * x = b

tzcnt(a) > tzcnt(b)无解
tzcnt(a) <= tzcnt(b) 可解，有 2^tzcnt(a) 解

第二种情况有一个特殊情况，有1个解，奇数a，即x = inverse(a) * b

更一般地说，x = inverse(a >> tzcnt(a)) * (b >> tzcnt(a)) 是一个解决方案，因为您将a 写为(a >> tzcnt(a)) * (1 << tzcnt(a))，所以我们用它的逆来取消左因子，我们将右因子作为结果的一部分（无论如何都不能取消）然后乘以剩余的值以达到b。显然，仍然只适用于第二种情况。如果您愿意，您可以通过填写顶部tzcnt(a) 位的所有可能性来枚举所有解决方案。

剩下的唯一一件事就是得到逆，你可能已经在另一个答案中看到它，不管它是什么，但为了完整起见，你可以按如下方式计算它：（未测试）

; input x
dword y = (x * x) + x - 1;
dword t = y * x;
y *= 2 - t;
t = y * x;
y *= 2 - t;
t = y * x;
y *= 2 - t;
; result y

【讨论】：

非常感谢！它有效，这正是我想要的。不过，我并不完全理解。与其要求你解释一个巨大的主题，你可以向我推荐一个我可以用谷歌搜索的一般主题/一本书吗？谢谢！
（如果美国系统适用，我目前在 Alg 2）
@Lupe 好吧，问题出在哪里？
@Lupe 好吧，我不知道该告诉你什么，他们可能会在 Alg 2 中介绍这一点，也许不会。无论哪种方式，奇数的乘法逆元模2的幂的存在都来自2的幂和奇数为1之间的gcd和Bézout的恒等式。它还非常直观地遵循了一种构造它们的方法：从 1 开始构建逆，然后查看需要抵消的最低位，添加 2 的相关幂等。逆算法有一个牛顿法的应用。我猜其余的很明显？
@harold：没错，它是用乘法代替除法，而不是使用乘法作为另一个乘法的逆。我是说我以前没有听说过后者，但我认为这和这之间可能存在某种关系，或者至少它是另一个有趣的工具，即使你并不真正了解数学。（我想当我需要自己实现它时，我会阅读更多并理解它。在那之前，我很高兴知道它存在）。感谢您对寻找倒数的总结，尤其是。确认这些是牛顿迭代