我有一个由几个三角形组成的形状，它位于世界空间中的某个位置，具有缩放、旋转、平移功能。我还有一个平面，我想在上面投影（正交）形状。
我可以将形状中每个三角形的每个顶点与对象变换矩阵相乘，以找出它在世界坐标中的位置，然后将该点投影到平面上。
但是我不需要绘制投影，而是想用形状的逆变换矩阵变换平面，然后将所有顶点投影到（逆变换）平面上。因为它只需要我变换一次平面而不是每个顶点。
我的飞机有一个法线 (xyz) 和一个距离 (d)。我如何将它与 4x4 变换矩阵相乘，这样它就可以了？
你能创建一个 vec4 作为 xyzd 并将其相乘吗？或者也许创建一个向量 xyz1 然后用 d 做什么？
【问题讨论】：
符号：
n 是表示为 (1x3) 行向量的法线n' 是 n 根据变换矩阵 T 变换后的法线
(n|d) 是表示为 (1x4) 行向量的平面（n 平面的法线和 d 平面到原点的距离）(n'|d')是(n|d)根据变换矩阵T的变换平面
T 是一个 (4x4)（仿射）列主变换矩阵（即，变换列向量 t 定义为 t' = T t）。转换一个正常的 n：
n' = n adj(T)
变换平面（n|d）：
(n'|d') = (n|d) adj(T)
这里，adj是矩阵的对数，根据矩阵的逆和行列式定义如下：
T^-1 = adj(T)/det(T)
注意：
adjugate 通常不等于变换矩阵 T 的逆矩阵。如果 T 包含反射，则 det(T) = -1，反转缠绕顺序！
重新归一化 n' 在数学上不是必需的（但可能在数值上取决于实现），因为缩放是由行列式处理的。 感谢 Adrian Leonhard。
【讨论】：
n' = n adj(T) 的两侧进行转置，这将导致伴随的转置或转置的伴随。如果您使用逆而不是伴随，您将需要在之后重新规范化以防缩放分量。或者您可以除以衡量大小变化的行列式。
这个问题有点老了，但我想更正接受的答案。
您不需要转换平面表示。
任何点 位于平面上 如果
可以写成点积：
您正在寻找由您的 4x4 矩阵 转换的平面 。
同理，你必须有
所以 和一些安排
TLDR : 如果p=(a,b,c,d), p' = transpose(inverse(M))*p
【讨论】：
您需要将您的飞机转换为不同的表示形式。其中 N 是法线，O 是平面上的任意点。您已经知道的正常情况是您的（xyz）。平面上的一个点也很简单，它是您的正常 N 倍距离 d。
将O以正常方式通过4x4矩阵变换，这将成为你的新O。您将需要一个 Vector4 与 4x4 矩阵相乘，将 W 分量设置为 1 (x, y, z, 1)。
同样通过 4x4 矩阵变换 N，但将 W 分量设置为 0 (x, y, z, 0)。将 W 组件设置为 0 意味着您的法线不会被翻译。如果您的矩阵不仅仅是平移和旋转，那么这一步就不是那么简单了。而不是乘以你的变换矩阵，你必须乘以矩阵的逆的转置，即Matrix4.Transpose(Matrix4.Invert(Transform))，有一个很好的解释为什么here。
您现在有了一个新的法线向量 N 和一个新的位置向量 O。但是我想你想要它再次以 xyzd 形式出现？没问题。和以前一样，xyz 是您的正常N，剩下的就是计算 d。 d 是平面到原点的距离，沿法线向量。因此，它只是 O 和 N 的点积。
你有它！如果你告诉我你用什么语言做这个，我也很乐意用代码输入。
编辑，伪代码：
平面是vector3 xyz和number d，矩阵是matrix4x4 M
vector4 O = (xyz * d, 1)
vector4 N = (xyz, 0)
O = M * O
N = transpose(invert(M)) * N
xyz = N.xyz
d = dot(O.xyz, N.xyz)
xyz 和d 代表新飞机
【讨论】：