使用Matlab，如何生成一个3^10个均匀分布在8维单位球面上的网？
【问题讨论】：
在 n-d 单位球体上获取点的一种简单方法是创建一个 n-d 立方体，切掉角，并将剩余的半径标准化为 1。请注意，如果没有切割，分布将不均匀。
但是，由于超球面相对于封闭框的体积随着维度的增加而减小，这并不是一种特别有效的方法。
更好的方法是生成一个 n-d 正态分布点（半径）的数组，并将它们归一化为球体的半径 - n-d 正态分布是径向对称的，因此表面上的分布将是均匀的
%# set-up
nPoints = 3^10;
nDim = 8;
%# create normally distributed variables
points = randn(nPoints,nDim);
%# normalize by dividing by the norm (=square root of sum(points.^2,2) )
points = bsxfun(@rdivide,points,sqrt(sum(points.^2,2)));
【讨论】：
来自维基百科n-sphere
生成均匀分布 (n − 1) 球面上的随机点 （即 n 球的表面）， Marsaglia (1972) 给出以下 算法。
生成一个n维向量 正常偏差（使用 N(0, 1)，虽然实际上是选择 的方差是任意的）， \mathbf{x}=(x_1,x_2,\ldots,x_n)。
现在计算这个的“半径” 观点， r=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}。
向量 \frac{1}{r} \mathbf{x} 是 均匀分布在表面 单位 n 球。
完成此操作的 matlab 代码片段是：
numdims = 8;
numpts = 3^10;
x = randn([numdims numpts]);
lx = repmat(sqrt(sum(x.^2,1)), [numdims 1]);
x = x./lx;
%x(:,j) is the jth point on the circle)
【讨论】：
好的，on Wikipedia 我们读到了
半径为 r 的 n 球面定义为 (n + 1) 维欧几里得空间中与中心点距离为 r 的点的集合，其中半径 r 可以是任何正实数
所以您的问题变成了在 7 空间中生成 3^10 个向量之一。在不丢失任何东西的情况下，我们可以让r = 1。该方法将是在 7 空间中生成随机向量，然后以通常的方式将它们归一化为单位长度
这是我匆忙敲出的一些代码，我知道我应该有向量化的东西而不是编写循环，我会把它留给 OP。代码不需要任何解释。
pointset = rand(3^10,7);
normset = zeros(3^10,1);
for ix = 1:3^10
normset(ix) = norm(pointset(ix,:));
end
for ix = 1:3^10
pointset(ix,:) = pointset(ix,:)/normset(ix);
end
当然，这依赖于 Matlab 的 PRNG 产生均匀分布的数字，以在 8 球体上创建一个均匀分布的网络。
【讨论】：