如何在 d 维球/球内生成均匀的随机点？

Question

我环顾四周，所有用于在单位球中/上生成均匀随机点的解决方案都是为 2 或 3 维设计的。

什么是（易于处理）在任意尺寸的球内部生成均匀随机点的方法？尤其是，不仅仅是在表面上球。

首先，在立方体中生成随机点并丢弃范数大于 1 的点在高维中不可行。单位球的体积与单位立方体的体积之比在高维中趋于 0。即使在 10 维中，单位立方体中也只有大约 0.25% 的随机点也在单位球内。

Answer 1

在d-dimension 球中生成均匀分布的随机点的最佳方法似乎是考虑极坐标（方向而不是位置）。 代码如下。

1. 在单位球上随机选取一个分布均匀的点。
2. 选择一个随机半径，其中半径的可能性对应于该半径在d 维度中的球的表面积。

此选择过程将 (1) 使所有方向均等，并且 (2) 使单位球内球表面上的所有点均等可能。这将在球的整个内部产生我们想要的均匀随机分布。

选择一个随机方向（在单位球上）

为了实现（1），我们可以从d 独立绘制的高斯分布中随机生成一个向量，该高斯分布归一化为单位长度。 This works 因为高斯分布具有概率分布函数 (PDF)，x^2 在指数中。这意味着联合分布（对于独立随机变量，这是它们的 PDF 的乘积）将在指数中具有 (x_1^2 + x_2^2 + ... + x_d^2)。请注意，这类似于 d 维球体的定义，这意味着来自高斯分布的d 独立样本的联合分布对于旋转是不变的（向量在球体上是均匀的）。

这是在 2D 中生成的 200 个随机点的样子。

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选择一个随机半径（以适当的概率）

为了实现 (2)，我们可以使用累积分布函数 (CDF) 的逆函数生成半径，该函数对应于半径为 d 的球的表面积r。我们知道surface area of an n-ball 与r^d 成正比，这意味着我们可以在[0,1] 范围内使用它作为CDF。现在，通过将[0,1] 范围内的随机数映射到逆r^(1/d)，生成一个随机样本。

这是x^2（二维）CDF 的视觉效果，[0,1] 中的随机生成数字将映射到该曲线上相应的 x 坐标。 （例如.1 ➞ .317）

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以上代码

最后，这里有一些 Python 代码（假设您安装了 NumPy），用于计算上述所有内容。

# Generate "num_points" random points in "dimension" that have uniform
# probability over the unit ball scaled by "radius" (length of points
# are in range [0, "radius"]).
def random_ball(num_points, dimension, radius=1):
    from numpy import random, linalg
    # First generate random directions by normalizing the length of a
    # vector of random-normal values (these distribute evenly on ball).
    random_directions = random.normal(size=(dimension,num_points))
    random_directions /= linalg.norm(random_directions, axis=0)
    # Second generate a random radius with probability proportional to
    # the surface area of a ball with a given radius.
    random_radii = random.random(num_points) ** (1/dimension)
    # Return the list of random (direction & length) points.
    return radius * (random_directions * random_radii).T

为了后代，这里是使用上述代码生成的 5000 个随机点的视觉效果。