如何将内核平滑概率密度估计转换为“东西”单位

Question

我目前正在研究多元概率分布（MATLAB 函数 mvksdensity），但我遇到了一个问题。

我有一个空间中 [XYZ] 点的 3D PDF。我希望它以点为单位，例如每个箱的估计点数，而不是概率。

这是因为我想估计在某些区域发现的点数，我想将 PDF 转换为时间（乘以 1/采样率），并且我想划分不同的 PDF不同的数据等。

我的第一个想法是将 PDF 除以其总和（因此 sum(PDF) = 1），然后乘以 [XYZ] 点的总数。这样总和（PDF）=点数，我应该能够做到以上所有。

基本上我的问题是如何将 PDF 转换为更像直方图的东西——这样单位就是“东西”而不是概率......

任何帮助将不胜感激，

谢谢，

杆。

这是我的意思的一个玩具示例：

pos = rand(50000,3)*1000; % [XYZ] points
vindx = 0:50:1000; % grid over which we want to estimate KDE
[xv,yv,zv] = ndgrid(vindx); % grid over which we want to estimate KDE
f = mvksdensity(pos,[xv(:),yv(:),zv(:)],'Bandwidth',75,'Kernel','normal','Function','pdf'); % PDF
f = f./nansum(f(:)) .* length(pos(:,1)); % now the sum of f will = the number of [XYZ] points

map = NaN(length(vindx),length(vindx),length(vindx)); % prepare an empty 3D map
[~,idx] = ismember(xv(:),vindx); % get the indices along X
[~,idy] = ismember(yv(:),vindx); % get the indices along Y
[~,idz] = ismember(zv(:),vindx); % get the indices along Z
ida = sub2ind(size(map),idy,idx,idz); % get the indices into map
map(ida) = f(:); % add the values to map

figure % plot data
isosurface(map,nanmax(f(:))/2);
daspect([1 1 1])

Answer 1

mvksdensity所代表的概率密度函数已经有了“单位体积XYZ的总人口比例”的单位。乘以原始点数确实会将其转换为“XYZ 单位体积的原始样本中的点数”。

这些单位与柱状图具有单位体积的直方图的单位基本相同。如果一个元素输出要代表一个更大的 bin，乘以 bin 的体积以表示预期落在该单元 bin 数量内的点数。

在点网格上评估 mvksdensity 将留下一个值网格，这些值是由核密度估计定义的 PDF 的数值近似值。将其乘以网格单元体积（对于您的网格 ndgrid(vindx) 等于 50^3）产生的值在求和时形成 PDF 积分的 numerical approximation。

PDF 在整个 XYZ 域上的解析积分定义为1。为了使您的值公平地反映 KDE 定义的 PDF，您不应像在 f./nansum(f(:)) 的示例中那样除以总和。如果数值积分nansum(f(:) * 50^3)不等于1，这反映了数值积分的近似误差，要么表示网格延伸不够远，要么过于粗糙。