使用正态分布优化预期收益

Question

假设我生成一个均值为 50，标准差为 1 的正态分布。

boost::normal_distribution<> normal(50, 1);

然后我想将此正态分布乘以由下式给出的支付函数：

f(x) = 100 - x

然后求解最大 x \in [0, 100]。

特别想解决：

((最大 x /in [0,100]) 正常(x) * (100 - x)

有人可以帮我编写代码，或者引导我朝着正确的方向前进吗？

Answer 1

正态分布的 PDF（概率分布函数）有一个很好的封闭形式：

因此可以通过求解以下问题以解析方式找到最大值：

这将导致您的情况为 x=75-sqrt(626) 或 x=49.98。

但是，如果您想在代码中而不是在分析中执行此操作，则可以使用优化算法。在您的情况下，可能一个简单的算法，例如黄金分割搜索（一维）就可以正常工作（here, for example）：

using boost::math::normal;

normal ndist(50.0, 1.0);

double f(const double &x)
{
    return pdf(ndist, x) * (100.0 - x);
}

double max(double (*f)(const double &), double &a, double &b, const double tol = 1e-5)
{
    static double goldenratio = 0.618034;
    double c = b - goldenratio * (b - a);
    double d = a + goldenratio * (b - a);
    while(abs(c - d) > tol)
    {
        double fc = (*f)(c); double fd = (*f)(d);
        if (fc > fd)
        {
            b = d;
            d = c;
            c = b - goldenratio * (b - a);
        } else
        {
            a = c;
            c = d;
            d = a + goldenratio * (b - a);
        }
    }
    return 0.5 * (b + a);
}

一个好的起始括号是0 和100：

double a = 0.0;
double b = 100.0;
maximum = max(f, a, b);