概率谜题，游戏的预期收益答案

【问题标题】：probability puzzle, expected payoff for game概率谜题，游戏的预期收益
【发布时间】：2012-04-29 07:23:25
【问题描述】：

这是昨天在 interviewstreet 结束的编程竞赛中的一个问题：

爱丽丝和鲍勃玩游戏。第 i 轮 (i >= 1) 的操作如下：

爱丽丝付给鲍勃 2 * i - 1 美元，
爱丽丝扔了一枚有偏见的硬币，
如果硬币的结果是连续 k 轮正面，则游戏停止，否则游戏继续。

给定 k 和投掷结果为正面 (p) 的概率，您的程序应该找到 Alice 支付给 Bob 的预期美元数，以及预期的回合数。

输入

输入的第一行包含测试用例的数量（T

输出

对于每个测试用例，打印两个整数。第一个数字是期望游戏轮数的整数部分，第二个 number 是 Alice 期望的美元数的整数部分付钱给鲍勃。

示例输入

样本输出

我得到了问题的第一部分，即预期的游戏轮数。我用下面的代码得到了它

if __name__ == '__main__':
    t = int(raw_input())   
    while t :
        t -= 1
        temp = str(raw_input())
        p,k = temp.split(' ')
        p = float(p)
        k = int(k)

        #print p,k
        ans  = 0.0
        num = k * (p**k)
        den = 1
        q = 1.0 - p
        for N in range(1,k+1):
            den = den - ((p**(N-1))*q)
            num = num + (N*(p**(N-1))*q)
            #print (N*(q**N))

        print int(num/den)

但问题的第二部分仍然让我感到困惑，即 Alice 支付给 bob 的预期美元数。如何计算预期收益？

【问题讨论】：

查看泊松分布。
看起来像圣彼得堡悖论en.wikipedia.org/wiki/St._Petersburg_paradox
如果您知道预期的轮数，那么计算 Alice 支付多少（知道她每轮支付多少）不应该是微不足道的吗？我是不是太天真了？
一开始我也是这么想的。但看看这些例子，它似乎并不那么微不足道。对于第二个输入，预期轮数是 24，但预期收益是 976。如果按照 24 轮计算收益是 576，这是错误的。
预期回报不是预期轮数（576）的回报。它是（支付乘以该支付的概率）的总和。支付时的最小可能轮数为 k，支付的概率为 p^^k。

标签： python puzzle probability

【解决方案1】：

即使您知道预期的轮数，您也需要对所有可能的支出进行平均。这意味着它比仅在预期停止时间计算支出更复杂。以下是具体细节：

回想一下期望的技术定义，如果 X 是一个随机变量，那么 X 的期望值是 X(w)*Pr(w) 的所有可能结果 w 的总和。如果 X 取正整数值，我们可以重新表述为 X 的期望值是从 i=1 到 i*Pr(X=i) 的无穷大的总和。在您的情况下，我们处理的随机变量是 T = 游戏停止时间，P = 支出。

期望轮数是T的期望，即i=1到i*Pr(T=i)的无穷大的总和。由于他们只要求期望的整数部分，一旦 i*Pr(T=i) 小于 1/2^i，我们就可以停止求和。（当 i*Pr(T=i)

P 的期望稍微复杂一些。如果游戏要进行 j 轮，那么支出将是从 i=1 到 j 的 2i-1 的总和，结果是 j^2。因此，只能发生 j^2 形式的支出，并且 Pr(P=j^2)=Pr(T=j)。所以 P 的期望值是 i=1 到无穷大 i^2 * Pr(P=i^2) 的和，等于 i=1 到无穷大 i^2*Pr(T=一世）。同样，一旦 i^2*Pr(T=i) 小于 1/2^i，我们就可以停止求和。

【讨论】：