等概率范围内的随机数

Question

这可能比 C# 更与数学相关，但我需要一个 C# 解决方案，所以我把它放在这里。

我的问题是关于随机数生成器的概率，更具体地说，是否每个可能的值都以相等的概率返回。

我知道有 Random.Next(int, int) 方法返回第一个整数和最后一个整数之间的一个数字（最后一个是排他的）。

Random.Next() [无重载] 将返回一个介于 0 和 Int32.MaxValue（即 2147483647）- 1 之间的值，因此为 2147483646。

如果我想要一个介于 1 和 10 之间的值，我可以调用 Random.Next(1, 11) 来执行此操作，但是 1 和 10 之间的每个值都有相同的发生概率吗？

例如，范围是 10，所以 2147483646 不能完全被 10 整除，所以值 1-6 出现的概率稍高（因为2147483646 % 10 = 6）。这当然是假设Random.Next() [没有重载] 中的每个值都以相等的概率返回 0 到 2147483646 之间的值。

如何确保一个范围内的每个数字都有相同的出现概率？假设对于一个彩票类型的系统，某些人比其他人拥有更高的概率是不公平的，我并不是说我会为此使用 RNG 中内置的 C#，我只是将其用作示例。

Answer 1

我注意到没有人真正回答你帖子中的肉质问题：

例如，范围是 10，所以 2147483646 不能完全被 10 整除，所以值 1-6 出现的概率略高（因为 2147483646 % 10 = 6）。这当然是假设 Random.Next() [没有重载] 中的每个值都以相等的概率返回 0 到 2147483646 之间的值。

如何确保一个范围内的每个数字都有相同的出现概率？

是的，所以你只需丢弃导致不平衡的值。例如，假设您有一个可以在{ 0, 1, 2, 3, 4 } 上产生均匀分布的 RNG，并且您想使用它在{ 0, 1 } 上产生均匀分布。天真的实现是：从{0, 1, 2, 3, 4} 中绘制，然后返回值% 2；然而，这显然会产生有偏差的样本。发生这种情况是因为，正如您所注意到的，5（项目数）不能被 2 整除。因此，相反，抛出任何产生值4 的平局。因此，算法将是

 draw from { 0, 1, 2, 3, 4 }
 if the value is 4, throw it out
 otherwise, return the value % 2

你可以用这个基本思想来解决一般问题。

但是，1 到 10 之间的每个值出现的概率相等吗？

是的，确实如此。来自MSDN：

伪随机数从有限的一组数字中以相等的概率选择。

编辑：显然文档与 .NET 中的当前实现不一致。文档说明抽签是统一的，但代码表明它不是。但是，这并不能否定这是一个可以解决的问题，我的方法是解决它的一种方法。

Answer 2

如您所料，RNG 中内置的 C# 是一个均匀分布的 C#。在您为Next(min, max) 指定的范围内，每个数字出现的可能性都相同。

您可以自己进行测试（我有），例如采集 1M 个样本并存储每个数字实际出现的次数。如果你绘制它，你会得到一条几乎平坦的曲线。

另请注意，每个数字具有相同的可能性并不意味着每个数字将出现相同的次数。如果您正在查看从 1 到 10 的随机数字，在 100迭代，它不会是每个数字出现 10 次的均匀分布。有些数字可能出现 8 次，而另一些数字可能出现 12 或 13 次。然而，随着更多的迭代，这往往会有所平衡。

另外，由于它在 cmets 中提到，我会补充：如果您想要更强大的东西，请查找加密 PRNG。就我所见，Mersenne Twister 特别好（速度快、计算成本低、周期长），并且它在 C# 中具有开源实现。

Answer 3

测试程序：

var a = new int[10];
var r = new Random();
for (int i = 0; i < 1000000; i++) a[r.Next(1, 11) - 1]++;
for (int i = 0; i < a.Length; i++) Console.WriteLine("{0,2}{1,10}", i + 1, a[i]);

输出：

1 99924 2 100199 3 100568 4 100406 5 100114 6 99418 7 99759 8 99573 9 100121 10 99918

结论：

每个值都以相等的概率返回。

Answer 4

Ashes 和 dtb 不正确：您怀疑某些数字比其他数字更有可能发生是正确的。

当您调用.Next(x, y) 时，有y - x 个可能的返回值。 .NET 4.0 Random 类根据NextDouble() 的返回值计算返回值（这是一个稍微简化的描述）。

显然，可能的 double 值集是有限的，而且，正如您所注意到的，它可能不是 .Next(x, y) 的可能返回值集的大小的倍数。因此，假设输入值集合是均匀分布的，那么某些输出值出现的概率会稍大。

我不知道有多少数字双精度值（即，不包括无穷大和 NaN 值），但它肯定大于 2^32。在您的情况下，如果我们假设 2^32 个值，那么我们必须将 4294967296 个输入映射到 10 个输出。某些值的发生概率会大 429496730 / 429496729，或者大 0.00000023283064397913028110629%。事实上，由于输入状态的数量大于 2^32，所以概率差异会更小。