完全平衡二叉树的复杂性

Question

我的场景是一个包含整数的完美平衡二叉树。

我搜索并找到了许多关于二叉树最佳/最坏情况的解释。最好的情况是O(1)（在根中找到目标），最坏的情况是O(log(n))（树的高度）。

我几乎没有找到关于计算平均复杂度的信息。我能找到的最佳答案是O(log(n)) - 1，但我想我不太明白（如果正确的话）这个平均情况是如何计算的。

此外，我认为搜索不在树中的整数会产生相同的复杂性，但任何煽动都会受到赞赏。

Answer 1

假设我们有一个包含n = 2<sup>k</sup> 整数的完美平衡二叉树，因此深度为log₂(n) = k。

正如你所说，最好和最坏的情况是O(1) 和O(log(n))。

短途

让我们从二叉树中选择一个随机整数X（均匀分布）。树的最后一行包含与第一行 k-1 相同数量的整数。概率 1/2 X 在第一行 k-1 行，所以我们最多需要 O(k-1) = O(log(n)-1) 步骤来找到它。并且1/2X 可能在最后一行，我们需要O(k) = O(log(n)) 步骤。

我们总共得到

E[X] ≤ P(X 行 ≤ k-1)⋅O(log(n)-1) + P(X 行 = k)⋅O(log(n ))
     = 1/2⋅O(log(n)-1) + 1/2⋅O(log(n))
     = 1/2⋅O(log(n)-1) + 1/2⋅O(log(n)-1)
     = O(log(n)-1)

注意：这有点难看，但在 O 表示法中，O(x) 和 O(x±c) 对于任何常量值 c 都是相同的。

漫长的路

现在让我们尝试计算包含在树中的随机（均匀分布）整数X 的平均情况，并让我们将树的i-th“行”上的整数集命名为T<sub>i</sub>。 T<sub>i</sub> 包含 2<sup>i</sup> 元素。 T<sub>0</sub> 表示根。

在第 i 行中选择一个整数的概率是P(X ∈ T<sub>i</sub>) = 2<sup>i</sup>/n = 2<sup>i-k</sup>。

要在行 i 上找到一个整数，需要 O(2<sup>i</sup>) = O(i) 步骤。

所以预期的步数是

E[X] = Σi=0,...,k-1 O(i)⋅2i-k.
为了简化我们使用
O(i)⋅2i-k + O(i+1)⋅2i+1-k ≤ O(i)⋅2i+ 1-k + O(i+1)⋅2i+1-k ≤ O(i+1)⋅2i+2-k
这导致我们
E[X] = Σi=0,...,k-1 O(i)⋅2i-k ≤ O (k-1)⋅2⁰
由于k = log(n)，我们看到平均情况在O(log(n)-1) = O(log(n))。
不在树中的值
如果值不在树中，则必须遍历整棵树。在log(n) 步骤之后，您找到了一片叶子。如果该值等于您的输入，则您已找到您搜索的内容。如果没有，您知道，您搜索的值不包含在树中。因此，如果您搜索不在树中的值，它将采用 O(log(n))。