二叉树属性 - 平衡

Question

我正在尝试了解二叉树的属性。但我不确定一件事：

定义。一棵二叉树指出：

1. 如果对于每个节点，二叉树的左子树中的内部节点数和右子树中的内部节点数最多相差 1，则该二叉树是平衡的。

2. 如果任何两个离开 diff，则二叉树是平衡的。深度的最大为 1。

我问我这两个是否定义。是等价的，我的意思是Def。 1 统计 Def。 2 反之亦然？ ...在我看来是的...但是谁能用示例准确地解释我这个属性的（非）等价性？

谢谢， 帕特里克

Answer 1

不，两者不等价。

    3
   / \
  2   7
 /   / \
1   5   8
   / \   \
  4   6   9

是一棵满足属性 2 但不满足属性 1 的树。

然而，属性 1 意味着属性 2。

命题：在一棵根据属性1与n内部节点平衡的二叉树中，所有叶子的深度为

• k 如果n = 2^k - 1
• k 或k+1 如果2^k <= n < 2^(k+1)-1，深度有叶子k+1。

证明：（通过对内部节点数的归纳）

对于n = 1 = 2^1-1，深度 1 有一两片叶子（根在深度 0）。

对于n = 2，一棵子树有一个内部节点，该子树中的所有叶子都在深度 2，另一棵子树为空或叶子深度为 1。

设n >= 2 并考虑根据属性1 与n+1 内部节点平衡的二叉树。

如果n 是偶数n = 2*m，则两个子树都必须有m 内部节点，并且深度属性由归纳假设成立。

如果n = 2*m+1 是奇数，则一个子树有m 内部节点，另一个有m+1。

1. 如果2^k <= m < 2^(k+1)-1，则具有m 内部节点的子树在深度k+1 有叶子，并且根据归纳假设可能在深度k 叶子。具有m+1 内部节点的树在深度k+1 和可能（如果m+1 < 2^(k+1)-1）在深度k 有叶子。

2. 如果m = 2^k - 1，则具有m 内部节点的子树仅在深度k 有叶子，而具有m+1 内部节点的子树在深度k+1 并且可能在深度@987654352 有叶子@.