我怎样才能证明这种语言是正规的？

Question

我正在尝试证明这种语言是否：

L = { w={0,1}* | #₀(w) % 3 = 0 }（0的个数可以被3整除）

经常使用抽水引理，但我找不到办法。我得到的所有其他示例，有一个简单的形式，或者说一个更定义的形式，例如 w = a^xb^yc^z 等。

Answer 1

该语言中至少包含三个字符的任何字符串都具有此属性：字符串中包含“1”，或者连续三个“0”。

如果字符串包含1，那么您可以将其拆分为抽水引理，并设置y 等于字符串中的某个1。那么显然字符串 xyz、xyyz、xyyyz 等都在语言中，因为所有这些字符串都有相同数量的零。

如果字符串不包含1，则连续包含三个0s。设置y为那三个0s，应该很明显xyz、xyyz、xyyyz等. 都在语言中，因为您每次要添加三个 0 字符，因此您总是有许多 0s 可以被 3 整除。

cmets 中的@justhalf 是完全正确的； pumping lemma 可以用来证明一种正则语言可以被pump，或者不能被pump 的语言不是正则的，但是你不能用pumping lemma 来证明一种语言是正则的。过错。

相反，这里证明了给定语言是基于Myhill-Nerode Theorem 的常规语言：

考虑0s 和1s 的所有字符串的集合。将这些字符串分成三组：

E₀，所有字符串使得0s 的个数是三的倍数，

E₁，所有字符串，使得0s 的数量是三的倍数多一，

E₂，所有字符串，使得0s 的数量是三的倍数多二。

显然，0s 和 1s 的每个字符串都属于这三个集合之一。

此外，如果 x 和 z 都是 0s 和 1s 的字符串，那么考虑如果串联 xz 在 L:

1. 如果 x 在 E₀ 中，则 xz 在 L 当且仅当 z 在 E₀

2. 如果 x 在 E₁ 中，则 xz 在 L 当且仅当 z 在 E₂

3. 如果 x 在 E₂ 中，则 xz 在 L 当且仅当 z 在 E₁

因此，在定理的语言中，我们三个 E_i 集合中的同一集合中的任何两个字符串都没有可区分的扩展，因此有最多三个等价类。有限数量的等价类意味着语言是规则的。

（实际上，正好有三个等价类，但这不是必须的）

Answer 2

• 一种语言是正规的当且仅当一些非确定性的有限自动机识别它。
• 自动机是一个有限状态机。

我们必须构建一个重新控制 L 的自动机。
对于每个状态，思考如下：

• “我在哪里？”
• “我可以去哪里，有一些给定的条目？”

所以，对于 L = { w={0,1}* | #0(w) % 3 = 0 }
可能性（状态）是： 余数（除法的余数）是 0、1 或 2。这意味着我们需要三个状态。 令 q0、q1 和 q2 分别为表示余数 0,1 和 2 的状态。

q0 是开始和最终状态。
现在，对于“0”条目，执行数学 #0(w)%3 并进入适当的状态。
转换功能：
f(q0, 0) = q1
f(q1, 0) = q2
f(q2, 0) = q0

对于“1”条目，它只是在任何地方循环，因为它不会改变机器状态。
f(qx, 1) = qx

抽水引理证明某种语言是否不规则。
这是一本关于计算理论的好书：计算理论导论第 3 版 作者：Michael Sipser。

Answer 3

我认为您不能使用抽引引理来证明一种语言是正则的。要证明一种语言是正则的，你只需要给出一个正则表达式或一个 DFA。在这种情况下，正则表达式非常简单：

1*(01*01*01*)*

(证明：正则表达式显然不接受任何0个数不能被3整除的字符串，所以我们只需要证明所有可能的0个数能被3整除的字符串都被这个正则接受表达式，可以通过确认对于包含 3n 个 0 的字符串，正则表达式匹配它，因为 1^n₀01^{n_{1 sub>}}01^n₂01^n₃...01^n_3n-201^n_3n-101^n_3n 有可以替换相同数量的 0 和 n_k，使其与字符串匹配，并且正则表达式清楚地接受这种格式）

抽引引理不能用来证明一种语言是正则的，因为我们不能像丹尼尔马丁的回答那样设置y。这是一个反例，格式与他的答案相似（如果我做的事情与他的答案完全不同，请纠正我）：

我们证明语言 L = {w=0ⁿ1^p | n ∈ N, n>0, p is prime} 是正则的使用抽引引理如下：注意至少有一次出现 0，所以我们取 y 为 0，我们有 xy^k z = 0^n+k-11^p，仍然满足语言定义。所以 L 是正则的。

但这是错误的，因为我们知道具有素数长度的序列是不规则的。这里的问题是我们不能只将 y 设置为任何字符。