试图证明 {a^i b^i c^i} 的补集是上下文无关的

Question

我试图证明 L= {a^i b^i c^i : i >= 1} 的补码是无上下文的。 L 补码是： {w is a word over {a,b,c}* : w not in L}。

众所周知，上下文无关语言在联合下是封闭的。所以，我试图将我的语言（{a^i b^i c^i} 的补码）划分为上下文无关的子集，其中它们的联合必须是上下文无关的。谁能帮我找到子集？每次我尝试，我都会得到 L*！

谢谢。

Answer 1

注意：在下文中，我省略了L不包含空字符串的约束，但只需要稍作调整即可。

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考虑a<sup>i</sup>b<sup>j</sup>c<sup>k</sup>。

如果i=j 和j=k 那么你有a<sup>i</sup>b<sup>i</sup>c<sup>i</sup>。相反，如果i≠j 或j≠k，那么你有a<sup>i</sup>b<sup>i</sup>c<sup>i</sup> 的补码。

换句话说， <pre>L = { a<sup>i</sup>b<sup>j</sup>c<sup>k</sup> | i=j } ∩ { a<sup>i</sup>b<sup>j</sup>c<sup>k</sup> | j=k }</pre> 和 <pre>L' = { a<sup>i</sup>b<sup>j</sup>c<sup>k</sup> | i≠j } ∪ { a<sup>i</sup>b<sup>j</sup>c<sup>k</sup> | j≠k }</pre> 很容易证明上述方程中的每个子集都是上下文无关的。正如您所说，上下文无关语言在联合下是封闭的，但它们在交集下不是封闭的；因此，L' 是上下文无关的，即使 L 不是。