最大值 (a[j] - a[i]) * min(b[j], b[i]) 使得 j > i？答案

【问题标题】：Maximum (a[j] - a[i]) * min(b[j], b[i]) such that j > i?最大值 (a[j] - a[i]) * min(b[j], b[i]) 使得 j > i？
【发布时间】：2021-04-09 14:07:42
【问题描述】：

给定两个数组a 和b 等长n 具有正整数值，我想要一个算法来找到(a[j] - a[i]) * min(b[j], b[i]) 的最大数量使得0 <= i < j < n。这个问题与Maximum difference between two elements such that larger element appears after the smaller number 有点相关，但它也引入了数组b 的新限制。由于min() 限制，此算法不能通过创建新数组c 来使用，因此对于每个i：c[i] = a[i] * b[i]。所以我想知道这个问题是否可以在线性O(n) 或O(n*logn) 中解决，或者可以证明只能在O(n^2) 中解决。任何提示都会很棒。

【问题讨论】：

你能链接到你发现这个问题的地方吗？
@IVlad 我没在某处找到它。它来自一个优化股票市场交易的问题，其中a 数组代表股票的价格，b 数组代表当天可以买卖多少股票的限制i 和@987654338 @分别。
能否请您也发布完整的原始问题？可能有一个不涉及这个公式的更简单的解决方案。

标签： arrays algorithm optimization dynamic-programming

【解决方案1】：

对于固定的j，i < j 有两种情况：

1. b[i] < b[j]

我们必须找到最小的a[i] 使得这个条件成立。

我们可以为此使用deque 数据结构d1，其中a[d1.front] 将始终是这个最小值 - 所以我们保持d1 排序使得条件成立并且它包含a 中的最小值.请注意，d1 仅包含位置，而不包含值。

对于每个j（您可能需要对d1 在您选择的语言中是否为空进行一些完整性检查）：

while a[j] <= a[d1.back]:
    d.pop_back()
while b[d1.front] >= b[j]:
    d.pop_front()
quantity1 = (a[j] - a[d1.front]) * b[d1.front]
d1.push_back(j)

2。 b[i] >= b[j]

用d2 做同样的事情来计算quantity2。然后，取两个数量的最大值，并将这个最大值与全局最大值进行比较。

这可能看起来像 O(n^2)，因为您仍然会有嵌套循环，但它是 O(n)：请注意每个值将最多进入和离开每个双端队列一次。

【讨论】：