给定Y个数，得到X个数的每个组合？

Question

我遇到了一个数学问题，我无法对逻辑进行编程。

让我用一个例子来解释一下：

假设我有 4 个洞和 3 个弹珠，这些洞是有序的，而我的弹珠是 A、B 和 C，也是有序的。

我需要获得所有可能的 ORDERED 组合：

ABC4
AB3C
A2BC
1ABC

这很简单，但是如果孔的数量发生变化怎么办？假设现在我有 5 个洞。

ABC45
AB3C5
A2BC5
1ABC5
AB34C
A2B4C
1AB4C
A23BC
1A3BC
12ABC

现在假设我们有 5 个洞和 4 个弹珠。

ABCD5
ABC4D
AB3CD
A2BCD
1ABCD

这可以是任意数量的孔和任意数量的弹珠。

组合的数量由下式给出：

$combinations = factorial($number_of_holes)/(factorial($number_of_marbles)*factorial($number_of_holes-$number_of_marbles)))

（这里是阶乘函数，以备不时之需）

function factorial($number) { 
    if ($number < 2) { 
        return 1; 
    } else { 
        return ($number * factorial($number-1)); 
    } 
}

我需要但不知道如何编程，是一个函数或一个循环或其他东西，它返回一个包含孔位置的数组，给定 X 个孔和 Y 个弹珠。

第一个例子是：[[4],[3],[2],[1]]，第二个例子是：[[4,5],[2,5],[1,5],[3,4],[2,4],[1,5],[2,3],[1,3],[1,2]]，第三个例子是：[[5],[4],[3],[2],[1]]。

不必按顺序返回，我只需要所有元素。

如您所见，另一种方法是互补或逆或不知道如何调用它，但解决方案是给定 Y 个孔的 X 个空闲孔的每个组合，所以，如果我有 10 个孔, 和 5 个弹珠，将有 5 个空洞，返回的数组将是 5 的每个组合，可以用 (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) 形成，它们是252种组合，我需要的是252种组合。

第二种方法的示例：

给定 array=[1,2,3,4]，返回 2 和 3 的每个组合。

2 件套

[[1,2],[1,3],[1,4],[2,3],[2,4],[3,4]]

3 件套

[[1,2,3],[1,2,4],[1,3,4],[2,3,4]]

我需要的是执行此操作的逻辑，我正在尝试在 PHP 中执行此操作，但我就是不知道该怎么做。

该函数将接收数组和集合大小并返回集合数组：

function getCombinations($array,$setize){
    //magic code which I can't figure out
    return array(sets);
}

我希望这足够清楚并且有人可以帮助我，我已经卡了好几天了，但我自己似乎无法处理。

这篇文章，PHP algorithm to generate all combinations of a specific size from a single set，适用于所有可能的组合，重复元素和顺序无关紧要，它是一个很好的引导，我确实读过它，但它并没有解决我的问题，它非常不同。我需要它们而不重复元素并按照说明进行排序。

假设我的数组中已经有一组 [3,4]，我不想将 [4,3] 作为另一组。

Answer 1

这是 PHP 中的递归解决方案：

function getCombinations($array, $setsize){  
    if($setsize == 0)
        return [[]];

    // generate combinations including the first element by generating combinations for 
    // the remainder of the array with one less element and prepending the first element:
    $sets = getCombinations(array_slice($array, 1), $setsize - 1);
    foreach ($sets as &$combo) {
        array_unshift($combo, $array[0]);
    }

    // generate combinations not including the first element and add them to the list:
    if(count($array) > $setsize)
        $sets = array_merge($sets, getCombinations(array_slice($array, 1), $setsize));

    return $sets;
}

// test:
print_r(getCombinations([1, 2, 3, 4], 3));

算法是这样工作的：

• 如果 setsize 为 0，则返回单个空组合
• 否则，生成包含第一个元素的所有组合，方法是递归地从数组中生成所有组合，不包括 setsize - 1 个元素的第一个元素，然后将第一个元素添加到每个组合之前。
• 然后，如果数组大小大于 setsize（意味着包含第一个元素不是强制性的），则为列表的其余部分生成所有组合，并将它们添加到我们在第二步中生成的组合中。

因此，基本上在每个步骤中，您都需要考虑一个元素是包含在组合中还是排除在组合中，并将代表两种选择的组合集合合并在一起。