计算列表中两点的最大距离的最有效方法是什么？

Question

我有一个L 点列表(x, y) 和通常的欧几里得距离度量

如何在此列表中找到两点的最大距离？或者，更正式地说：我如何找到

简单的方法

解决这个问题最简单的方法似乎是尝试一切：

def find_max_dist(L):
    max_dist = d(L[0], L[1])
    for i in range(0, len(L)-1):
        for j in range(i+1, len(L):
            max_dist = max(d(L[i], L[j]), max_dist)
    return max_dist

为了使计算更快，我可以在循环中使用平方距离并在最后返回根。

这种方法的运行时间复杂度为，其中n 是列表L 的长度。 （以及恒定的空间复杂度）。

凸包

显然，没有任何算法比 O(n) 更快，因为我们必须对列表中的每个元素至少查看一次。

凸包元素之间的距离最大。但是很容易证明凸包的计算至少在O(n log n) 和Graham's scan 似乎做到了。但是在找到复杂的船体之后，我仍然必须获得最大距离。所以我最终会得到

def find_max_dist_graham_triv(L):
    H = Graham_scan(L)
    return find_max_dist(L)

现在，这是我不确定的一点。我认为可以这样改进：

def find_max_dist_graham_c1(L):
    H = Graham_scan(L)  # Get ordered list of convex hull points
    max_dist = d(L[0], L[1])
    for i in range(0, len(L)-1):
        loop_max_dist = 0
        for j in range(i+1, len(L):
            curr_dist = d(L[i], L[j])
            if curr_dist < loop_max_dist:
                break
            loop_max_dist = curr_dist
            max_dist = max(loop_max_dist, max_dist)

    return max_dist

这个想法是，当你取一个凸包的一个点并从它的相邻点开始时，对角线会不断增加，达到最大值，然后不断减小。不过，我不确定这是否属实。

直观地说，我会继续改进算法：一旦第一个内循环完成，我们就找到了该循环的“最长对角线”。这条对角线将所有其他船体点分隔成两个分离的集合。每条较长的对角线都必须由这两个集合中的点组成（对吗？）：

def find_max_dist_graham_c1(L):
    H = Graham_scan(L)  # Get ordered list of convex hull points
    max_dist = d(L[0], L[1])  # Get a fist idea what the longest distance might be

    i = 0
    p1 = L[i]  # Grab a random point
    loop_max_dist = 0
    for j in range(1, len(L):
        curr_dist = d(L[i], L[j])
        if curr_dist < loop_max_dist:
            break
        loop_max_dist = curr_dist
        max_dist = max(loop_max_dist, max_dist)
    # Every diagonal that is longer than the best one found with L[0]
    # has to have points in both of the following two sets (correct?):
    # [1...j] and [j+1...len(L)]

    # Try to find a neighboring diagonal that is longer.
    change = True
    while change:
        change = False
        if d(L[i-1], L[j+1]) > max_dist:
            max_dist = d(L[i-1], L[j+1])
            i -= 1
            j += 1
            change = True
        elif d(L[i+1], L[j-1]) > max_dist:
            max_dist = d(L[i+1], L[j-1])
            i += 1
            j -= 1
            change = True
    return max_dist

凸包上的每个点 P 在凸包上都有一个点 Q，使得 PQ 是包括 P 在内的最长对角线。但是 P 也是 Q 的最长对角线的“端点”吗？

我真的不确定这个算法是否正确。它会在 O(n log n) 中。

我想这个问题分析得很好，所以有人可以留下一些笔记吗？

虽然我有很多子问题，但主要问题是：

找到点列表中点的最大距离的有效方法是什么？

Answer 1

您应该查看旋转卡尺(http://en.wikipedia.org/wiki/Rotating_calipers) - 它们被广泛用于此类问题。 另外，你的假设是错误的。对于凸多边形上的一个不动点p：对角线可以先增减，再增减。至少，我遇到过这种情况。

还有一种启发式方法：选择一个点 x。找到距离它最远的 y 点。找到距离 y 最远的点 z。 d(z,y) 是一个很好的估计。

说明对角线的图像：

1->2：增加； 2->3 递减； 3->4 增加； 4->5 递减。图可能不准确，把3和4指向的点移到离p远一点（在同一条线上）。

Answer 2

假设您的点分布均匀，您可以执行以下操作：

找到 max_x 和 min_x 是最大和最小 X 坐标 - (O(n))。这些值应该可以帮助您选择一个常数 k 作为当前点集的“最佳”值。 k 的不同值只会影响算法的复杂度。

考虑一个类似于矩阵的新数据结构，它是向量的向量或链表的向量，我们将其命名为structure，其中structure[i] 是对应的向量/链表（如上所述）。按如下方式填充此数据结构：structure[i] 应包含其x 坐标在[max_x+ik,max_x+(i+1)k] 范围内的点，这将需要另一个O(n) 时间和O(n) 额外空间。现在您按y 坐标对structure[i] 的每个条目进行排序。完成此操作后，计算以下点集之间的距离（蛮力）就足够了：structure[0]、structure[structure.length()-1]、每个其他 structure[i] 的极值（第一个和最后一个索引的条目）。

基本上这与做凸包并开始计算凸包上的点的距离几乎相同，不同之处在于选择正确的k 可能会使其更快或更慢。具有最坏情况复杂度O(n^2) 和最佳情况复杂度O(nLg(n))。其中k 将影响排序更大的点组或使用更多点来计算之间距离的交易。