找到最大匹配 3 个三角形数

Question

众所周知，任何正数最多可以用 3 个三角数来表示。 ( https://oeis.org/A000217)

例子：

11 := 10 + 1

12 := 10 + 1 + 1

13 := 10 + 3

14 := 10 + 3 + 1

15 := 15

我正在通过最多 3 个可能的三角形加法搜索正数 n 的表示。 n 可以存在不止一种表示形式。我对总和最大的那个很感兴趣。

有没有比 2 减 for 和 1 增 for 循环更有效的方法来找到和数？

public void printMaxTriangularNumbers(int n){
  int[] tri = createTriangularNumbers(1000);

  lbl: for(int i = tri.length-1; ; i--){
    int tmp = n - tri[i];
    if(tmp == 0){
      System.out.println(tri[i]);
      break;
    }
    for(int j=i; j>0; j--){
      int tmp2 = tmp - tri[j];
      if(tmp2 ==0){
        System.out.println(tri[i]);
        System.out.println(tri[j]);
        break lbl;
      }
      for(int k=1; k <= j;k++){
        if(tmp2 - tri[k] == 0){
          System.out.println(tri[i]);
          System.out.println(tri[j]);
          System.out.println(tri[k]);
          break lbl;
        }
      }
    }
  }
}

public int[] createTriangularNumbers(int n){
  int[] out = new int[n+1];
  for(int i=1,sum=0; i<=n;i++){
    out[i] = sum += i;
  }
  return out;
}

Answer 1

据我所知，没有直接的公式。需要一个算法。例如，贪心方法不起作用。以值 90 为例：

• 不大于 90 的最大三角形数是 78。剩下 12
• 不大于 12 的最大三角形数是 10。剩下 2
• 现在很明显，我们需要 4 个术语，这是不可接受的。

所以我会提出一种递归/回溯算法，其中每个递归调用只处理一个求和。递归中的每一级首先取最大可能的三角形数，但如果递归调用失败，它将进入第二大并再次进入递归，直到有一个可接受的总和。

我们可以使用maths.stackexchange.com中提到的公式：

令T_m为小于或等于c的最大三角数。 您实际上可以获得 m 的显式公式，即：

这是一个实现递归的sn-p。运行时，你可以引入一个值，它会产生三角和。

function getTriangularTerms(n, maxTerms) {
    if (maxTerms === 0 && n > 0) return null; // failure: too many terms
    if (n == 0) return []; // Ok! Return empty array to which terms can be prepended
    // Allow several attempts, each time with a
    //   lesser triangular summand:
    for (let k = Math.floor((Math.sqrt(1+8*n) - 1) / 2); k >= 1; k--) {
        let term = k * (k+1)/2;
        // Use recursion
        let result = getTriangularTerms(n - term, maxTerms - 1);
        // If result is not null, we have a match
        if (result) return [term, ...result]; // prepend term
    }
}

// I/O handling
let input = document.querySelector("input");
let output = document.querySelector("span");

(input.oninput = function () { // event handler for any change in the input
    let n = input.value;
    let terms = getTriangularTerms(n, 3); // allow 3 terms max.
    output.textContent = terms.join("+");
})(); // execute also at page load.

Enter number: <input type="number" value="14"><br>
Terms: <span></span>

Answer 2

因为三角数是任意数 t 满足任意自然数 t=x(x+1)/2 的任意自然数 x，所以您要解决的问题是

n = a(a+1)/2 + b(b+1)/2 + c(c+1)/2

并找到最大可能的max(a,b,c) 的解决方案(a,b,c)。您没有指定只允许具有 3 个三角形数字的解决方案，所以我假设您也允许 (a,b,c,d) 形式的解决方案并寻找具有最大 max(a,b,c,d) 的解决方案。

可能有多种解决方案，但始终存在最多 3 个三角形数的解决方案。由于可以用 3 个三角数组成任意数，因此您可以找到最大的三角数 t 和 t<=n，然后它会跟随 n=t+d，其中 d=n-t。 d 是一个自然数 >=0，因此可以由 3 个三角形数本身组成。由于您对最大的求和感兴趣，因此最大的将是t，可以使用t=x(x+1)/2 其中x=floor((sqrt(1+8n)-1)/2) 计算（通过求解公式n=x(x+1)/2+d 获得）。

作为一个实际的例子，以n=218为例。通过公式，我们得到x=20 和t=210，这确实是218 之前的最大三角数。在这种情况下，其他三角数将是6、1、1，因为这是唯一的方法计算 8 是用那些。