找到最大匹配

Question

让G(A,B,V)，一个二分图，其中|A|=|B|=n。有一个匹配的 M 子集 E 其中|M| = n-2013。描述一种确定是否存在最大匹配的有效算法。

基本上，给定的解决方案是从图中构建一个流网络，通过添加s,t 顶点，将s 连接到A 中的每个顶点v 和B 中的每个顶点v 到@ 987654332@。所有容量都是1。

现在，我们为所有边 M（以及从 s 到 t 的所有边连接到 M 的边）提供一个起始流

现在我们只需要运行 Fold-Falkerson（或 Edmond-Karp）算法并检查我们是否能够改进 2013 路径（即为某些路径添加更多流量）。更准确地说，我们最多需要运行 BFS，2013 次来决定

我的问题是：
为什么它有效？在我看来，M 只是一个任意匹配。这就像我们假设M 是最大匹配的一部分。

我很高兴得到澄清！

谢谢

Answer 1

IIUC，算法是这样的：

1. 创建流网络s → A → B → t

2. 在这个网络上，计算由M引起的流量。

3. 现在创建 residual flow graph，并从这里继续 Edmonds-Karp。

为什么会这样？ Ford-Fulkerson method 保证，给定 any 有效流量（特别是在这种情况下，由 M 给出的流量，虽然尚未达到最大流量，但存在增加残差网络中的路径。这里，每次增加都会使流量（以及匹配）增加 1。因此，如果最大流量是 q，那么在 q - |M| 次迭代，就会实现。

似乎让您感到困惑的一点是，最佳匹配似乎必然包括M。不是这种情况。沿残差网络的增强实际上可以取消原始网络中的流。因此，增强实际上可以“反转”一些 M 的匹配。