是语言 L1 = {a^p; p 不是素数并且 p>=0} 递归可枚举？

Question

我知道语言 L2 = {a^m; m >=0} 是常规语言，并且 L3 = {a^p; p 是素数} 是递归可枚举的。

L2-L3=L1 是否也可以递归枚举并且不是上下文无关的或常规的？

Answer 1

不仅是 L3 = {a^p; p 是一个素数} 递归可枚举，它是递归的。这是证明的草图：

想象一个带有以下磁带的多磁带图灵机：

1. 输入磁带，最初带有一个数字，以检查素数
2. 除数带，记录我们正在检查的当前数字作为除数带上数字的除数
3. 暂存带，我们实际上用它来检查除数是否将被除数除以没有余数

为简单起见，假设一元表示。这些磁带可以按如下方式使用：

1. 硬编码一些特定输入的行为：

• 空输入：停止接受，因为 0 不是素数
• 只有一个符号：停止接受，因为 1 不是素数
• 只有两个符号：停止拒绝，因为 2 是素数

1. 通过在数字 2 上放置 2 个符号来初始化除数带
2. 将输入复制到暂存磁带
3. 从暂存磁带末端擦除与除数磁带上的符号一样多的符号；如果您用完符号却无法这样做，请将所有磁带头重置到开头，擦除暂存磁带，然后在除数磁带的末尾添加一个新符号。如果这使得除数大于或等于输入，则停止拒绝，因为这意味着该数字是素数。否则，从第 3 步继续。
4. 如果暂存磁带现在是空的（意味着除数均分输入），则停止接受，因为输入不是素数。否则，从第 4 步继续。

因为我们可以使用这个 TM 确定任何输入的非素数，我们也可以简单地通过将每个字符串提供给这个 TM 并在我们确定它不是素数时列出它来枚举语言中的字符串。

在数字 5（素数）上运行的 TM 示例：

s = 0       s = 1       s = 2       s = 3       s = 4
|||||####   |||||####   |||||####   |||||####   |||||####
#########   ||#######   ||#######   ||#######   ||#######
#########   #########   |||||####   |||######   |########

s = 5       s = 6       s = 7       s = 8       
|||||####   |||||####   |||||####   |||||####   HALT
|||######   |||######   ||||#####   ||||#####   REJECT
|||||####   ||#######   |||||####   |########

在 9 上运行的 TM 示例（非素数）：

s = 0       s = 1       s = 2       s = 3       s = 4
|||||||||   |||||||||   |||||||||   |||||||||   |||||||||
#########   ||#######   ||#######   ||#######   ||#######
#########   #########   |||||||||   |||||||##   |||||####

s = 5       s = 6       s = 7       s = 8       s = 9
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||#######   ||#######   |||######   |||######   |||######
|||######   |########   |||||||||   ||||||###   |||######

s = 10
|||||||||   HALT
|||######   ACCEPT
#########