在 R^n 中对立方体/球体进行网格搜索

Question

我正在尝试在 R^n 中的一个球体上实现网格搜索（在 Python 中，如果重要的话），其中 n 是未知的。

输入包括球体的半径和中心，以及控制网格分辨率的超参数theta。我想将这个球体中的每个点表示为这三个参数的函数。

我也愿意考虑立方体搜索，只迭代立方体的面。 （即迭代L_inf sphere）

如果我知道 n=2，我会做的是：

import numpy as np

def enumerate_2d_sphere(R,theta,center=(0,0)):
    for n in xrange(int(2*np.pi / theta)+1):
        degree = n*theta
        point =(center[0]+R*np.cos(degree),center[1]+R*np.sin(degree))
        yield point

for p in enumerate_2d_sphere(1,0.1):
    print p

由于n 可以任意大，我正在寻找一种有效地迭代球体\立方体的方法。

有什么想法吗？

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我最终使用了 strubbly 建议的修改版本：

import itertools
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def f(d, center, scale=1):
    dim = len(center)
    print d/-2.0
    diff = scale * np.array([d/-2.0 for _ in xrange(dim)])
    bias = diff + center
    for i in range(dim):
        l = ([ xrange(1,d) for _ in xrange(i)] +
             [[0,d]] +
             [ xrange(d+1) for _ in xrange(dim-i-1)]
            )
        for r in itertools.product(*l):
            yield scale*np.array(r)+bias
#example for R^2:
center = (1,1.5)
data = np.array([x for x in f(20,center,scale = 0.1)])


plt.scatter(data[:,0], data[:,1],color='r',s=100,alpha=0.5)
plt.scatter(center[0], center[1],color='b',s=300,alpha=0.5)
plt.show()

输出图：

还有一个选择，就是生成 uniformly distributed samples on the sphere。请注意，样本数控制点的“密度”（或预期密度）：

import numpy as np
def generate_random_points(R,center,quantity=1000):
    """
    :param R: float
    :param center: np.array
    :param quantity: int
    """
    dim = len(center)
    for n in xrange(quantity):
        s = np.random.normal(0, 1,dim)
        r = np.sqrt(np.dot(s,s))
        s = (R/r) * s
        yield s+center

最糟糕的方法（就简单性和效率而言）是使用enumeration of n-1 angles 在球体上生成点。效率低下是因为需要经常计算产品sin 和cos（尽管这也可能被黑客入侵）

Answer 1

您可以使用 n 维的球坐标（参见例如wikipedia），或者您可以使用欧几里得坐标，只需将最后一个坐标设置为获得正确半径（加或减）所需的任何值。这两个都是很好的参数化，会给你球体上的所有点 - 使用正确数量的参数进行迭代。

但它们不会自然地导致恒定面积（体积）元素 - 只需考虑 3 球体就很容易看出这一点。这个问题没有简单的解决方案。

我认为一种可能的方法是使用 n-1 维网格参数化，但根据体积将第 n 个组件细分为可变数量的值。

n-cube 的面更容易：只需生成 n 对面，其中第 n 个坐标最小或最大。因此，例如，考虑从原点开始的大小为 1 的 n 立方体：

将第一个坐标设置为零并在其余部分上枚举一个网格。然后将其设置为 1 并再次执行此操作。然后重复第二个坐标。以此类推。

这是使用itertools.product 的简单方法。为了简单和高效，我已将框缩放为整数坐标：您需要重新缩放并移动中心。所以n 是维度数，d 是沿每个轴的细分数。

import itertools

def f(n,d):

    for i in range(n):
        l = ([ range(1,d-1) for _ in range(i)] +
             [[0,d-1]] +
             [ range(d) for _ in range(n-i-1)]
            )
        for r in itertools.product(*l):
            yield r

print(list(f(4,3)))

Answer 2

我不认为sklearn网格搜索功能有这个选项，但是手动实现这个应该不难

• 迭代 n 的值
• 对于每个 n，迭代 n 个不同的角度参数，θ 步幅从 0 到 360
• 如果您不需要球体体积，也可以迭代半径 - 如果您只需要曲面，请保持半径不变