为什么寻找数字的因数是一种具有指数时间复杂度的算法？答案

【问题标题】：Why is finding the factors of a number an algorithm with exponential time complexity?为什么寻找数字的因数是一种具有指数时间复杂度的算法？
【发布时间】：2014-09-01 20:39:43
【问题描述】：

为什么这个算法的时间复杂度是指数级的？

我了解“模数”是按位运算符，对单个位进行运算。因此，在最坏的情况下，我们需要执行 sqrt(2^n) 除法。所以这是一个exp时间算法。

如果这是真的，不是所有的算法都会变成指数时间吗？请解释。

Find-Factor(X)
1: if X is even then
2: return ”2 is a factor”
3: end if
4: for i = 3 to Sqrt(X) by +2 do 
5:    test if X%i = 0, if yes, output ”i is a factor”
6: end for
7: return ”X is a prime.”

【问题讨论】：

我不太明白第 4 行...
模数是除法，而不是按位。只有当除数是 2 的精确幂和字面量时，它才能变为按位。
@HuStmpHrrr 请检查。我换行了

标签： algorithm time-complexity

【解决方案1】：

指数来自迭代次数。在最坏的情况下（即情况数是素数）您必须进行 X / 2 次迭代（在此算法中，它不是一个好的算法，例如，您可以使用 sqrt(X) 而不是 X 来限制循环）。这与输入中的位数 = ln(X) 成指数关系。不是数字 X。

顺便说一句，有一些概率检查可以很快确定给定数字是否为素数。还有一个相当复杂的算法可以确定性地完成相同的工作。您可以谷歌搜索并找到它们。

【讨论】：

投下票的那位，能告诉我原因吗？有什么问题吗？
我更关心这是怎么发生的。不是特别素数算法。我想知道为什么 2^n 以及为什么这不适用于所有其他算法。
那是我，因为“你必须做 X/2 循环”，以及“来自 for 循环的数量”。
给我一个算法，我会试着解释它的时间复杂度。顺便说一句，我必须注意问题的时间复杂度和算法之间存在区别。您不能编写时间复杂度小于问题复杂度的算法。但你总是可以做得更糟。目前没有证据证明“寻找数字的因数”问题的时间复杂度是指数级的。（但是该问题的最佳算法是指数的）。对于量子计算机，同样的问题也有一个多项式算法。
@jthill 在编辑之前，算法一直搜索到 X 并且增量为 2。因此在最坏的情况下，有 X /2 个循环。我的解释有什么错误吗？

【解决方案2】：

它们在数字表示的长度上是指数的，因为表示本身是指数的，下一个数字是 10ⁿ⁺¹ 或 2ⁿ⁺¹ 或其他.线性搜索的内容要多得多，仅此而已。

【讨论】：

表示本身是指数的？这是什么意思。你指的是下一个素数的出现吗？
你的回答很有道理。这在关于整数分解的维基百科页面中提到：en.wikipedia.org/wiki/…
为了扩展，如果我们正在考虑与表示长度相关的时间复杂度，您的回答是有意义的。我也明白这是针对大量数字的相关措施。但是，为什么在考虑算法的一般时间复杂度时这是相关的度量？换句话说，当试除法（我认为或多或少是 OP 的算法）具有 O(sqrt(N)) cs.stackexchange.com/questions/50326/…
@JohnHenderson 这特别是因为密码学，到目前为止，分解的最重要的使用，增加密钥的长度很容易，最大的问题是“增加密钥的长度有什么影响有吗？”。这有点像字符串操作，你通常不关心单个字符有什么值，你关心它们有多少。
谢谢@jthill，有道理。作为其他人的参考，我还在 math.stackexchange 上找到了这个答案，它进一步讨论了这个问题：math.stackexchange.com/questions/1624390/… 特别是其中一个 cmets（“复杂性总是由输入的长度计算。只是在大多数情况下，输入是 ? 元素的某种数据结构（例如，数组）。所以这种类型的输入的长度是 ?"）对我很有帮助。